§ 4.3. Иррациональные неравенства

Иррациональными называют неравенства, у которых переменная стоит под знаком радикала, причем рассматриваются только арифметические корни, если корень четной степени.

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод приведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. Но необходимо помнить.

1. Возведение обеих частей неравенства в нечетную степень с сохранением знака неравенства всегда является равносильным преобразованием.

2. Если обе части неравенства на некотором множестве X определены и имеют только положительные значения, то можно возвести обе части неравенства в квадрат или другую четную степень с сохранением знака исходного неравенства, поскольку получим неравенство, равносильное исходному на множестве X.

3. Для иррациональных неравенств вида < q(x), где q(x) < 0, возводить в четную степень обе части неравенства нельзя. Необходимо учитывать дополнительные условия.

Приведем методы решения простейших иррациональных неравенств:

Примечание. Чтобы избежать ошибок при решении неравенств общего вида, необходимо прежде всего найти область определения исходного неравенства, а потом осуществлять равносильный переход на области определения или на ее части.

Дивіться також: