МЕНЮ
Учень! Що для тебе (як для школяра) означає школа?





  • ▲  угору сторінки
  • ◄  на попередню сторінку
головна сторінка > Теорія > Алгебра > 10 класс > § 6

§ 6. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.
Обозначается: logab.Читается: логарифм b по основанию a.

a > 0; a ≠ 1; b > 0
 
показательное равенство ax = bлогарифмическое равенство x = logab
 
x — показатель степени;
a — основание степени;
b — степень числа a.
 x — логарифм числа b по основанию a;
a — основание логарифма;
b — число, стоящее под знаком логарифма.

a logab = b, a > 0; a ≠ 1; b > 0.
основное логарифмическое тождество.
Логарифмы по основанию 10 называются десятичными и обозначаются lg
10 lgb = b.
Свойства логарифмов
1) logbb = 1, так как b1 = b.
Логарифм числа по тому же основанию равен 1.
2) loga1 = 0, так как a0 = 1.
Логарифм единицы по любому основанию равен 0.
3) loga(bc) = logab + logac, c > 0, b > 0
Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

4) loga = logab − logac, b > 0, c > 0
Логарифм дроби (частного) равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

5) logabn = nlogab, b > 0
Логарифм степени равен произведению показателя и логарифма основания.

loga = logab, b > 0

6) logam b = logab

logam an =

Нахождение логарифмов заданных чисел или выражений называется логарифмированием.
Нахождение чисел (выражений) по данному логарифму числа (выражения) называется потенцированием.
Логарифмическая функция — это функция вида y = logax, a > 0; a ≠ 1.
y = logax
a > 0
a ≠ 1
Свойства логарифмических функций
1. Область определения: D(y) = (0; +∞). Выражение, которое логарифмируется — положительное. График не пересекает ось 0y.
2. Множество значений: E(y) = R.
3. При x = 1 логарифмическая функция y = logax приобретает значение, равное 1. График пересекает ось 0x в точке (1;0).
a > 1
y = logax — возрастающая; большему числу соответствует больший логарифм;
Если 0 < x < 1, то logax < 0; если x > 1, то logax > 0.
Логарифмы чисел, больших 1, положительны. Логарифмы чисел, меньших 1, отрицательны.
0 < a < 1
y = logax — убывающая; большему числу соответствует меньший логарифм;
если 0 < x < 1, то logax > 0; если х > 1, то logax < 0.
Логарифмы чисел, больших 1, отрицательны. Логарифмы чисел, меньших 1, положительны.
Следствие. Из равенства логарифмов по одному основанию двух чисел следует равенство самих чисел:

logax = logay ⇒ x = y, a > 0, a ≠ 1.

Логарифмические уравнения
Логарифмическими называются уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Например: log2(3x − 2) = 4.

Решение логарифмических уравнений основывается на определении логарифма, свойствах логарифмической функции и свойствах логарифма.

Логарифмические неравенства
Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими.

Например: log2(x² − 3x + 2) > 1.

При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать:
1) общие свойства неравенств;
2) свойство монотонности логарифмической функции;
3) область определения логарифмической функции.

Дивіться також:

  • Иррациональные неравенства
  • Тригонометрические неравенства
  • Степенная функция
  • Показательная функция
  • Иррациональные уравнения и неравенства
  • Показательные уравнения и неравенства
  • Якщо Ви помітили помилку, виділіть необхідний текст та натисніть Ctrl+Enter

    © 2008-2024. Офіційний сайт Бердянської ЗОШ І-ІІІ ступенів № 2 Запорізької області

     
    [
    ]