Офіційний сайт ЗОШ №2 м.Бердянська: www.school-2.com
Повна версія сторінки за адресою: https://school-2.com/theory/algebra/10_form/6.php
Повна версія сторінки за адресою: https://school-2.com/theory/algebra/10_form/6.php
§ 6. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. | |
Обозначается: logab. | Читается: логарифм b по основанию a. |
a > 0; a ≠ 1; b > 0 | ||
↓ | ↓ | |
показательное равенство | ⇔ | логарифмическое равенство |
↓ | ↓ | |
x — показатель степени; a — основание степени; b — степень числа a. | x — логарифм числа b по основанию a; a — основание логарифма; b — число, стоящее под знаком логарифма. |
a logab = b, a > 0; a ≠ 1; b > 0. основное логарифмическое тождество. |
Логарифмы по основанию 10 называются десятичными и обозначаются lg 10 lgb = b. |
Свойства логарифмов |
---|
1) logbb = 1, так как b1 = b. Логарифм числа по тому же основанию равен 1. |
2) loga1 = 0, так как a0 = 1. Логарифм единицы по любому основанию равен 0. |
3) loga(bc) = logab + logac, c > 0, b > 0 Логарифм произведения равен сумме логарифмов. |
4) loga |
5) logabn = nlogab, b > 0 Логарифм степени равен произведению показателя и логарифма основания. loga |
6) logam b = ![]() logam an = |
Нахождение логарифмов заданных чисел или выражений называется логарифмированием. |
Нахождение чисел (выражений) по данному логарифму числа (выражения) называется потенцированием. |
Логарифмическая функция — это функция вида | ||
a > 0 a ≠ 1 | ![]() | ![]() |
Свойства логарифмических функций |
---|
1. Область определения: D(y) = (0; +∞). Выражение, которое логарифмируется — положительное. График не пересекает ось 0y. |
2. Множество значений: E(y) = R. |
3. При x = 1 логарифмическая функция y = logax приобретает значение, равное 1. График пересекает ось 0x в точке (1;0). |
a > 1 |
y = logax — возрастающая; большему числу соответствует больший логарифм; |
Если 0 < x < 1, то logax < 0; если x > 1, то logax > 0.
Логарифмы чисел, больших 1, положительны. Логарифмы чисел, меньших 1, отрицательны. |
0 < a < 1 |
y = logax — убывающая; большему числу соответствует меньший логарифм; |
если 0 < x < 1, то logax > 0; если х > 1, то logax < 0.
Логарифмы чисел, больших 1, отрицательны. Логарифмы чисел, меньших 1, положительны. |
Следствие. Из равенства логарифмов по одному основанию двух чисел следует равенство самих чисел:
logax = logay ⇒ x = y, a > 0, a ≠ 1. |
Логарифмические уравнения |
---|
Логарифмическими называются уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.
Например: log2(3x − 2) = 4. Решение логарифмических уравнений основывается на определении логарифма, свойствах логарифмической функции и свойствах логарифма. |
Логарифмические неравенства |
Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими.
Например: log2(x² − 3x + 2) > 1. При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать:
|
Дивіться також: