Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства

Інформація про школу
Наші вчителі та директори
Школа для батьків
- Батьківський комітет
  - Графік роботи
  - Благодійна допомога
- Сторінка психолога
- Сторінка соц. педагога
- Сторінка завуча з ВР
- Батькам 1-класників
- Безпека дітей
- Законодавча база
- Звіт директора
Учні нашої школи
- Позакласні гуртки
  - Хореографічний
  - Журналістський
- Група продовженого дня
- Переможці олімпіад
- Самоврядування
- Для абітурієнтів
- Профорієнтація
  - Інститут філології БДПУ
  - Прикордонна служба
- Рейтинг класів
  - 2013-2014 н.р.
  - 2012-2013 н.р.
- Список підручників
  - Початкова школа
  - Середня/старша школа
- Критерії оцінювання
- Обов'язки учнів
Наші випускники
Життя школи
Шкільна фотогалерея
Інші корисні ресурси
Гостьова книга
Додати інформацію на сайт

▲ угору сторінки
◄ на попередню сторінку

§ 6. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.
Обозначается: log_ab. Читается: логарифм b по основанию a.

a > 0; a ≠ 1; b > 0
↓		↓
показательное равенство a^x = b	⇔	логарифмическое равенство x = log_ab
↓		↓
x — показатель степени; a — основание степени; b — степень числа a.		x — логарифм числа b по основанию a; a — основание логарифма; b — число, стоящее под знаком логарифма.

a ^log_ab = b, a > 0; a ≠ 1; b > 0.
основное логарифмическое тождество.

Логарифмы по основанию 10 называются десятичными и обозначаются lg
10 ^lgb = b.

Свойства логарифмов
1) log_bb = 1, так как b¹ = b. Логарифм числа по тому же основанию равен 1.
2) log_a1 = 0, так как a⁰ = 1. Логарифм единицы по любому основанию равен 0.
3) log_a(bc) = log_ab + log_ac, c > 0, b > 0 Логарифм произведения равен сумме логарифмов.
4) log_a = log_ab − log_ac, b > 0, c > 0 Логарифм дроби (частного) равен разности логарифмов числителя и знаменателя.
5) log_abⁿ = nlog_ab, b > 0 Логарифм степени равен произведению показателя и логарифма основания. log_a = log_ab, b > 0
6) log_a^m b = log_ab log_a^m aⁿ =

Нахождение логарифмов заданных чисел или выражений называется логарифмированием.

Нахождение чисел (выражений) по данному логарифму числа (выражения) называется потенцированием.

Логарифмическая функция — это функция вида y = log_ax, a > 0; a ≠ 1.
y = log_ax a > 0 a ≠ 1

Свойства логарифмических функций
1. Область определения: D(y) = (0; +∞). Выражение, которое логарифмируется — положительное. График не пересекает ось 0y.
2. Множество значений: E(y) = R.
3. При x = 1 логарифмическая функция y = log_ax приобретает значение, равное 1. График пересекает ось 0x в точке (1;0).
a > 1
y = log_ax — возрастающая; большему числу соответствует больший логарифм;
Если 0 < x < 1, то log_ax < 0; если x > 1, то log_ax > 0. Логарифмы чисел, больших 1, положительны. Логарифмы чисел, меньших 1, отрицательны.
0 < a < 1
y = log_ax — убывающая; большему числу соответствует меньший логарифм;
если 0 < x < 1, то log_ax > 0; если х > 1, то log_ax < 0. Логарифмы чисел, больших 1, отрицательны. Логарифмы чисел, меньших 1, положительны.
Следствие. Из равенства логарифмов по одному основанию двух чисел следует равенство самих чисел: log_ax = log_ay ⇒ x = y, a > 0, a ≠ 1.

Логарифмические уравнения
Логарифмическими называются уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма. Например: log₂(3x − 2) = 4. Решение логарифмических уравнений основывается на определении логарифма, свойствах логарифмической функции и свойствах логарифма.
Логарифмические неравенства
Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими. Например: log₂(x² − 3x + 2) > 1. При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать: 1) общие свойства неравенств; 2) свойство монотонности логарифмической функции; 3) область определения логарифмической функции.

Логарифмические уравнения

Логарифмическими называются уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Например: log₂(3x − 2) = 4.

Решение логарифмических уравнений основывается на определении логарифма, свойствах логарифмической функции и свойствах логарифма.

Логарифмические неравенства

Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими.

Например: log₂(x² − 3x + 2) > 1.

При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать:
1) общие свойства неравенств;
2) свойство монотонности логарифмической функции;
3) область определения логарифмической функции.

Дивіться також:

Связь между радианной и градусной мерами угла

Тригонометрические функции, их графики и свойства

Тригонометрические неравенства

Угол

Степенная функция

Показательные уравнения и неравенства

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.
Обозначается: log_ab.	Читается: логарифм b по основанию a.