§ 1.3. Непрерывность функции

Функция ƒ(x) называется непрерывной в точке x0, если она в ней определена, предел функции в точке x0 существует и равен значению функции в этой точке. По этому определению ставятся три условия: 1) функция должна быть определена в точке x = x0; 2) функция ƒ(x) имеет предел в точке x0; 3) = ƒ(x0).
Пример: x ∈ (−∞;3) ∪ (3;+∞) x ≠ 3.
	Данная функция не будет непрерывной в точке x0 = 3, поскольку она не определена при x = 3. Те точки, в которых эти условия не выполняются, называются точками разрыва. х = 3 — точка разрыва.

Примеры функций, которые имеют точки разрыва
y = [x] — целая часть x Точки разрыва — все целочисленные точки.	0 — точка разрыва.	0 — точка разрыва.
Если функция ƒ(x) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I. В школьном курсе математики: График функции, непрерывной на промежутке — непрерывная линия на этом промежутке.
Свойства
Иллюстрация	Формулировка	Пример использования
	1. Если непрерывная на отрезке [a,b] функция принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю.	ƒ(x) = 4х³ + х − 1 — непрерывная функция (многочлен); ƒ(0) = −1 < 0; ƒ(1) = 4 > 0, поэтому на интервале (0;1) существует точка x, в которой функция равна 0 (это точка x0 = )
	2. Функция ƒ(x), непрерывная на отрезке [a,b], принимает все промежуточные значения между значениями этой функции в крайних точках, то есть между ƒ(a) и ƒ(b).	ƒ(x) = 3x — непрерывная функция. Если x ∈ [2;3], то З² = 9, З³ = 27. Поскольку 9 < 15 < 27, то существует точка x0, в которой ƒ(x0) = = 15 (как известно, x0 = log315).
	3. Если на интервале (a,b) функция ƒ(x) непрерывна и не превращается в ноль, то на этом интервале функция сохраняет постоянный знак.	На этом свойстве основывается метод интервалов решения неравенств вида ƒ(x) 0.
Решим неравенство ƒ(x) 0, где ƒ(x) — произвольная функция. 1. Найдем область определения функции ƒ(x) : D(ƒ). 2. Определим все нули функции, то есть решим уравнение ƒ(x) = 0. 3. Разбиваем на промежутки область определения нулями функции. 4. Определим знак функции на каждом промежутке.

Примеры функций, непрерывных на всей области определения
№	Функция	Область определения
1.	y = x	x ∈ (−∞; +∞)
2.	y = xn	x ∈ (−∞; +∞)
3.	y =	x ≠ a
4.	y = √x	x ≥ 0
5.	y = logax	x > 0
6.	y = sinx	x ∈ (−∞; +∞)
7.	y = cosx	x ∈ (−∞; +∞)
8.	y = tgx	x ≠ + n, n ∈ Z
9.	y = ctgx	x ≠ k, k ∈ Z
10.	y = arcsinx; y = arccosx	−1 ≤ x ≤ 1
11.	y = ax	x ∈ (−∞; +∞)

Приращение аргумента и функции
	Δx = x1 − x0 — приращение аргумента в точке x0; x1 = x0 + Δx — начальное значение аргумента x0 получило приращение Δx; Δy = Δƒ(x) = ƒ(x1) − ƒ(x0) — приращение функции в точке x0; Δy = ƒ(x0 + Δx) − ƒ(x0).

Дивіться також: