Офіційний сайт ЗОШ №2 м.Бердянська: www.school-2.com
Повна версія сторінки за адресою: https://school-2.com/theory/algebra/11_form/1/3.php
Повна версія сторінки за адресою: https://school-2.com/theory/algebra/11_form/1/3.php
§ 1.3. Непрерывность функции
Функция ƒ(x) называется непрерывной в точке x0, если она в ней определена, предел функции в точке x0 существует и равен значению функции в этой точке.
По этому определению ставятся три условия:
| |
Пример: x ∈ (−∞;3) ∪ (3;+∞) x ≠ 3. | |
Данная функция не будет непрерывной в точке х = 3 — точка разрыва. |
Примеры функций, которые имеют точки разрыва | ||
---|---|---|
Точки разрыва — все целочисленные точки. | 0 — точка разрыва. | 0 — точка разрыва. |
Если функция ƒ(x) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I. В школьном курсе математики: | ||
Свойства | ||
Иллюстрация | Формулировка | Пример использования |
1. Если непрерывная на отрезке [a,b] функция принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. | ƒ(x) = 4х³ + х − 1 — непрерывная функция (многочлен); | |
2. Функция ƒ(x), непрерывная на отрезке [a,b], принимает все промежуточные значения между значениями этой функции в крайних точках, то есть между ƒ(a) и ƒ(b). | ƒ(x) = 3x — непрерывная функция. Если | |
3. Если на интервале (a,b) функция ƒ(x) непрерывна и не превращается в ноль, то на этом интервале функция сохраняет постоянный знак. | На этом свойстве основывается метод интервалов решения неравенств вида | |
Решим неравенство ƒ(x) 0, где ƒ(x) — произвольная функция.
1. Найдем область определения функции 2. Определим все нули функции, то есть решим уравнение ƒ(x) = 0. 3. Разбиваем на промежутки область определения нулями функции. 4. Определим знак функции на каждом промежутке. |
Примеры функций, непрерывных на всей области определения | ||
---|---|---|
№ | Функция | Область определения |
1. | y = x | x ∈ (−∞; +∞) |
2. | y = xn | x ∈ (−∞; +∞) |
3. | y = | x ≠ a |
4. | y = √x | x ≥ 0 |
5. | y = logax | x > 0 |
6. | y = sinx | x ∈ (−∞; +∞) |
7. | y = cosx | x ∈ (−∞; +∞) |
8. | y = tgx | x ≠ + n, n ∈ Z |
9. | y = ctgx | x ≠ k, k ∈ Z |
10. | y = arcsinx; y = arccosx | −1 ≤ x ≤ 1 |
11. | y = ax | x ∈ (−∞; +∞) |
Приращение аргумента и функции | |
---|---|
Δx = x1 − x0 — приращение аргумента в точке x0;
x1 = x0 + Δx — начальное значение аргумента x0 получило приращение Δx; Δy = ƒ(x0 + Δx) − ƒ(x0). |
Дивіться також: