§ 5. Комплексные числа и действия с ними

Комплексные числа

Число, которое удовлетворяет равенству х² = −1, обозначают буквой i и называют мнимой единицей. Таким образом, i² = −1.

Числа вида a + bi, где a и b — любые действительные числа, i — мнимая единица, называются комплексными. a — действительная часть комплексного числа, bi — мнимая часть комплексного числа, b — коэффициент при мнимой части.

Числа вида 0 + bi называют чисто мнимыми числами. 0 + bi = bi.

Числа вида a + 0i отождествляют с действительными числами: a + 0i = a; 0 = 0 + 0i. 0 — единственное комплексное число, которое является и действительным, и чисто мнимым.

Комплексные числа вида a + bi и a − bi называют сопряженными.

Комплексные числа вида a + bi и −a −b называют противоположными.

Два комплексных числа a + bi и c + di называют равными, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях a + bi = c + di ⇔ Понятий «больше», «меньше» для комплексных чисел не существует.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме a + bi

Сложение
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i, (a + bi) + (a − bi) = 2a — сумма двух взаимно сопряженных комплексных чисел является действительным числом.
Вычитание
Исходя из определения, вычитание рассматривается как действие, обратное сложению. (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i.
Умножение
(a + bi) × (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc) i. Умножение комплексных чисел выполняется как умножение многочленов с учетом, что i² = −1. (a + bi) × (a − bi) = a² − (bi)² = a² + b² — произведение двух взаимно сопряженных выражений является числом действительным. a ² + b² = (a + bi) (a − bi).
Деление
Действие, обратное умножению. (c + di ≠ 0). Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное со знаменателем
Степени мнимой единицы
i0 = 1; i' = i; i² = −1; i³ = −1; i4 = 1; i4k = 1; i4k+1 = i; i4k+2 = −1; i4k+3 = i; 4k = 1. k = 0; ±1; ±2 и т.д.
Возведение в степень
(a + bi) n = n ∈ N (a + bi) −n =
Извлечение корня
√−1 = ±i.   √−a = ±√a × i; √a — арифметический корень (a > 0). знак «+» в скобках, если b > 0, знак «−» в скобках, если b < 0.

Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Первый способ
Комплексное число a + bi геометрически изображают точкой М(x;y) в прямоугольной системе координат: x = a; y = b. Ось абсцисс, на которой размещены точки, соответствующие действительным числам (a + 0i), называется действительной осью. Ось ординат, на которой размещаются все мнимые числа, называется мнимой осью. 0 = 0 + 0i — изображается началом координат.
Второй способ
Комплексное число a + bi изображается в системе координат радиус-вектором . O(0;0); M(a;b).
Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа и обозначается буквой r. Из рисунка видно, что r = √a² + b². Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа a + bi и a − bi имеют один и тот же модуль. Модуль чисто мнимого числа равен абсолютному значению коэффициента. Комплексные числа Z, которые имеют один и тот же модуль |Z| = r, соответствуют точкам комплексной плоскости, которые расположены на окружности с радиусом r и с центром в начале координат.
Угол φ между положительным направлением оси абсцисс и вектором ОМ, изображающим комплексное число a + bi, называется аргументом комплексного числа (0 ≤ φ < 360°). Аргумент φ комплексного числа a + bi связан с a и b формулой tgφ = аргументом действительного положительного числа является 0°; действительного отрицательного числа — 180°; аргументом мнимых чисел bi является 90°; аргументом чисел −bi является 270°. Для нуля аргумент не определен.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Z = a + bi — алгебраическая форма записи комплексного числа. a = rcosφ (cosφ = ), b = rsinφ (sinφ = ), Z = a + bi = rcosφ + irsinφ = r (cosφ + isinφ) — это выражение называется тригонометрической формой комплексного числа z. r = √a² + b²; tgφ = .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Сложение и вычитание комплексных чисел удобнее выполнять в алгебраической форме. Для остальных операций более удобна тригонометрическая форма.
Умножение
r1 (cosφ1 + isinφ1) × r2 (cosφ2 + isinφ2) = r1 × r2 (cos(φ1 + φ2) + isin (φ1 + φ2)).
Деление
= (cos (φ1 − φ2) + isin (φ1 − φ2)).
Возведение в степень
(r(cosφ + isinφ))n = rn (cosnφ + isinnφ) — формула Муавра.
Извлечение корня n-ой степени
= — арифметический корень k = 0; 1; 2; ...n − 1. Корень степени n в множестве комплексных чисел имеет n различных значений. Все значения равны между собой и равны 0. Все n значения корня n-ой степени изображаются точками на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен . Эти точки — вершины правильного n-угольника.

Дивіться також: