Повна версія сторінки за адресою: https://school-2.com/theory/algebra/11_form/5.php
§ 5. Комплексные числа и действия с ними
Число, которое удовлетворяет равенству х² = −1, обозначают буквой i и называют мнимой единицей. Таким образом, |
Числа вида a + bi, где a и b — любые действительные числа, i — мнимая единица, называются комплексными. a — действительная часть комплексного числа, bi — мнимая часть комплексного числа, b — коэффициент при мнимой части. |
Числа вида 0 + bi называют чисто мнимыми числами. |
Числа вида a + 0i отождествляют с действительными числами: |
Комплексные числа вида |
Комплексные числа вида |
Два комплексных числа a + bi = c + di ⇔ Понятий «больше», «меньше» для комплексных чисел не существует. |
Сложение |
---|
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i, (a + bi) + (a − bi) = 2a — сумма двух взаимно сопряженных комплексных чисел является действительным числом. |
Вычитание |
Исходя из определения, вычитание рассматривается как действие, обратное сложению. (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i. |
Умножение |
(a + bi) × (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc) i. Умножение комплексных чисел выполняется как умножение многочленов с учетом, что (a + bi) × (a − bi) = a² − (bi)² = a² + b² — произведение двух взаимно сопряженных выражений является числом действительным. a ² + b² = (a + bi) (a − bi). |
Деление |
Действие, обратное умножению.
Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное со знаменателем
|
Степени мнимой единицы |
k = 0; ±1; ±2 и т.д. |
Возведение в степень |
(a + bi) n = ![]() (a + bi) −n = |
Извлечение корня |
√−1 = ±i. √−a = ±√a × i; √a — арифметический корень (a > 0). знак «+» в скобках, если b > 0, |
Первый способ |
---|
Комплексное число a + bi геометрически изображают точкой М(x;y) в прямоугольной системе координат: Ось абсцисс, на которой размещены точки, соответствующие действительным числам Ось ординат, на которой размещаются все мнимые числа, называется мнимой осью. 0 = 0 + 0i — изображается началом координат. |
Второй способ |
Комплексное число a + bi изображается в системе координат радиус-вектором
|
Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа и обозначается буквой r. Из рисунка видно, что Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа a + bi и a − bi имеют один и тот же модуль. Модуль чисто мнимого числа равен абсолютному значению коэффициента. Комплексные числа Z, которые имеют один и тот же модуль |
Угол φ между положительным направлением оси абсцисс и вектором ОМ, изображающим комплексное число Аргумент φ комплексного числа a + bi связан с a и b формулой Для нуля аргумент не определен. |
Z = a + bi — алгебраическая форма записи комплексного числа.
Z = a + bi = rcosφ + irsinφ = r (cosφ + isinφ) — это выражение называется тригонометрической формой комплексного числа z. r = √a² + b²; tgφ = |
Сложение и вычитание комплексных чисел удобнее выполнять в алгебраической форме. Для остальных операций более удобна тригонометрическая форма. |
Умножение |
---|
Деление |
|
Возведение в степень |
(r(cosφ + isinφ))n = rn (cosnφ + isinnφ) — формула Муавра. |
Извлечение корня n-ой степени |
Корень степени n в множестве комплексных чисел имеет n различных значений. Все значения Все n значения корня n-ой степени изображаются точками на окружности с центром в начале координат, радиус которой равен |
Дивіться також: