§ 7.2. Операции над событиями

Под элементарными событиями, связанными с определенным испытанием, понимают все неразложимые результаты этого испытания. Каждое событие, которое может наступить в результате этого испытания, можно рассматривать как некоторое множество элементарных событий.

Пространством элементарных событий называется произвольное множество (конечное или бесконечное). Его элементы — точки (элементарные события). Подмножества пространства элементарных событий называются событиями.

Все известные отношения и операции над множествами переносятся на события.

Говорят, что событие A является частным случаем события B (или B является результатом A), если множество A является подмножеством B. Обозначают это отношение так же, как для множеств: A ⊂ B или B ⊃ A. Таким образом, отношение A ⊂ B означает, что все элементарные события, входящие в A, входят также в B, то есть при наступлении события A наступает также событие B. При этом, если A ⊂ B и B ⊂ A, то A = B.

Событие A, которое происходит тогда и только тогда, когда событие A не происходит, называется противоположным событию A. Поскольку в каждом испытании происходит одно и только одно из событий — A или A, то P(A) + P(A) = 1, или P(A) = 1 − P(A).

Объединением или суммой событий A и B называется событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда или происходит событие A, или происходит событие B, или происходят A и B одновременно. Это обозначается C = A ∪ B или C = A + B.

Объединением событий A₁, A₂, ... A_n называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий. Обозначается объединение событий A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n, или A_k, или A₁ + A₂ + ... + A_n.

Пересечением или произведением событий A и B называется событие D, которое происходит тогда и только тогда, когда события A и B происходят одновременно, и обозначается D = A ∩ B или D = A × B.

Совмещением или произведением событий A₁, A₂, ... A_n называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и событие A₁, и событие A₂, и т.д., и событие A_n. Обозначается совмещение так: A₁ ∩ A₂ ∩ ... ∩ A_n или A_k, или A₁ × A₂ × ... × A_n.

Если события A и B не могут произойти одновременно, то такие события называют несовместимыми.

Значит, для несовместимых событий, и только для них, A ∩ B = U.

Также A ∩ E = A, A ∪ U = A, A ∩ U = U, то есть невозможное событие U играет роль нуля, а достоверное событие E играет роль единицы, то есть U = ∅, E = 1.

Разностью A\B событий A и B называется событие F, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие A и не происходит событие B, то есть F = A\B.

Определение операций объединения, пересечения, разности событий можно проиллюстрировать с помощью колец Эйлера:

D = A ∩ B	C = A ∪ B	F = A\B
A ⊂ B	A ∩ B = ∅	A ∩ A = ∅; A ∪ A = 1

Из статистического определения вероятности события вытекает, что вероятность события всегда есть число положительное или нуль. Следовательно, имеем такие свойства вероятности:
1) P(E) = 1;
2) P(U) = 0;
3) 0 ≤ P(A) ≤ 1 для любого события.

Вероятность суммы событий

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятности этих событий без вероятности их произведения.

Если A и B — некоторые события, то P (A + B) = P(A) + P(B) − P (A × B).

Данная теорема называется теоремой сложения вероятностей.

Из этой теоремы вытекает результат для несовместимых событий A и B: если A ∩ B = U, то P (A × B) = 0. Поэтому для несовместимых событий P (A + B) = P(A) + P(B), то есть вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Если A₁, A₂, ... A_m — попарно несовместимые события, то P (A₁, A₂, ... A_m) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A_m).

Эта теорема справедлива для событий, связанных с одним и тем же испытанием.

Условная вероятность и независимость событий

Пусть имеем события A и B, и P(B) ≠ 0. Условной вероятностью события A при условии, что наступило событие B, называется число P (A / B) = или P (A × B) = P (A / B) × P(B).

Если A = B, то P (B / B) = = 1.

События A и B называются независимыми, если P (A × B) = P(A) × P(B).

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Если события A и B независимы, то независимы также события A и B.

Случайные события A, B, C независимы в совокупности, если они попарно независимы и P (A × B × C) = P(A) × P(B) × P(C).

Дивіться також: