МЕНЮ
Учень! Що для тебе (як для школяра) означає школа?





  • ▲  угору сторінки
  • ◄  на попередню сторінку
головна сторінка > Теорія > Алгебра > 8 класс > § 4

§ 4. Функции

ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
Функция обозначается или одной буквой ƒ или ƒ(х), или равенством y = ƒ(x), где х — независимая переменная или аргумент, у — зависимая переменная или значение функции, ƒ(x0) — значение функции ƒ в точке х0.
Область определения и множество значений функции
Область определения функции (D) — множество тех значений, которые может принимать аргумент.

Множество значений функции (E) — это множество тех значений, которые может принимать сама функция при всех значениях аргумента из области определения. Например: ƒ(x) = .

Область определения (0;0): х − 1 ≠ 0; х ≠ 1, x — любое число, кроме х = 1.

ГРАФИК ФУНКЦИИ
Определение. Графиком функции y = ƒ(x) называется множество точек плоскости с координатами (х;у), где первая координата х «пробегает» всю область определения функции ƒ(х), а вторая координата — это соответствующее значение функции ƒ в точке х.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
1. Аналитический способ: функция задается с помощью математической формулы.

y = x²; y = 5x − 8; y =

2. Табличный способ: функция задаётся с помощью таблицы.
x12345
y246810
3. Описательный способ: функция задается словесным описанием.Функция Дирихле: ƒ(х) = 1 для рациональных х, ƒ(х) = 0 для иррациональных х.
4. Графический способ: функция задается с помощью графика. 
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
Линейной функцией называют функцию вида y = kx + b, где k и b — некоторые числа, x — независимая переменная.
СвойстваЗначения переменных
1. Область определения.x — любое действительное число x ∈ R.
2. Множество значений.1) При k ≠ 0; y — любое действительное число, x ∈ R.
2) При k = 0; y = b.
3. Точки пересечения с осями координат.

1) При k ≠ 0, х = ; y = 0 — точка пересечения с осью 0x.
2) k = 0, тогда y = b — прямая, параллельная оси 0x, пересекает 0y в точке (0;b) и совпадает с осью 0x при b = 0.
3) y = b, x = 0 — точка пересечения с осью 0y, т.е. (0;b).

4. Возрастание и убывание.1) При k > 0 функция возрастает на всей области определения.
2) При k < 0 функция убывает на всей области определения.
3) При k = 0 функция постоянная.
5. Графиком линейной функции является прямая.
k — угловой коэффициент прямой.
1) При b = 0 (y = kx) — прямая, проходящая через начало координат.
2) При b ≠ 0 (у = kx + b) — прямая, не проходящая через начало координат (которая получается из прямой y = kx параллельным переносом вдоль оси 0y на b единиц).
Графики линейных функций
b = 0 (y = kx)b ≠ 0 (y = kx + b)
Взаимное размещение графиков линейных функций
Если k1 ≠ k2, графики функций y = k1x + b1 и y = k2x + b2 пересекаются в одной точке.Если k1 = k2, b1 ≠ b2, графики функций y = k1x + b1 и y = k2x + b2 параллельны.
Эти графики полезно запомнить
y = x

y = −x

y = |x|

y = 2

ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
Определение. Функция y = kx при к ≠ 0 называется прямой пропорциональностью, k — угловой коэффициент. Эта функция является частным случаем линейной функции y = kx + b, при b = 0. Поэтому её графиком является прямая, проходящая через начало координат.
1. Если k > 0, то график функции y = kx расположен в I и III координатных углах.2. При k < 0 график функции расположен во II и IV координатных углах.
Характерная точка (0;0).
ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
ОпределенияГрафики

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой , где k — число, не равное нулю.
Число k называется коэффициентом пропорциональности.

График

Графиком обратной пропорциональности является кривая, которая называется гиперболой.
Гипербола состоит из двух отдельных частей, симметричных относительно начала координат, и проходит через точки (1;k) и (−1;−k).

Свойства функции

Значения переменных
1. Область определения обратной пропорциональности:x — любое число, кроме нуля (x ≠ 0);
2. Область значений обратной пропорциональности:y — любое число, кроме нуля (y ≠ 0).
3. При k > 0 график функции расположен в I и III координатных четвертях.Если k > 0, то x > 0 соответствует y > 0; x < 0 соответствует y < 0;
4. При к < 0 график функции расположен во II и IV четвертях.Если k < 0, то x > 0 соответствует y < 0; x < 0 соответствует y > 0;
ФУНКЦИИ y = x²; y = x³. ИХ ГРАФИКИ И СВОЙСТВА
График функции y = x² является параболой. Парабола состоит из двух веток, симметричных относительно оси ординат.

Точка с координатами (0;0) называется вершиной параболы.

Некоторые свойства функции y = x²
1. Любому x можно найти соответствующее значение y, причем y ≥ 0; при x = 0 и y = 0.
2. Противоположным значениям x соответствует одно и то же значение y: (−х)² = х² = y
х1 = −5; y1 = (−5)² = 25.
x2 = 5; y2 = 5² = 25, поэтому график имеет симметрию относительно оси 0y.
Графиком функции y = x³ является кубическая парабола.Кубическая парабола имеет симметрию относительно начала координат.

График расположен в I и III координатных углах.

Некоторые свойства функции y = x³
1. Любому значению x соответствует значение y, причем y ∈ R (множеству действительных чисел) при х = 0; y = 0; если х > 0, то y > 0; если х < 0, то y < 0.
2. Противоположным значениям х соответствуют противоположные значения y: (−х)³ = −x³
х1 = −5; y1 = (−5)³ = −125.
х2 = 5; y2 = 5³ = 125,
поэтому график имеет симметрию относительно начала координат.
ФУНКЦИЯ y = √x
Область определения функции y = √x — множество неотрицательных действительных чисел: х ≥ 0 (потому что корень можно извлечь только из неотрицательного числа).
Если х = 0, то y = 0, поэтому график функции y = √x проходит через начало координат.
Если х > 0, то y < 0, поэтому график функции расположен в первой координатной четверти.
Большему значению аргумента соответствует большее значение функции, действительно:
х1 = 4, то y1 = √4 = 2;
х2 = 9, то y2 = √9 = 3, то есть х2 > x1 и y2 > y1.
Таким образом, функция y =√x является возрастающей.

Графики функций y = √x и y = х² при х ≥ 0 симметричны относительно прямой y = х.

Дивіться також:

  • Рациональные выражения
  • Квадратные корни. Действительные числа
  • Квадратные уравнения
  • Якщо Ви помітили помилку, виділіть необхідний текст та натисніть Ctrl+Enter

    © 2008-2024. Офіційний сайт Бердянської ЗОШ І-ІІІ ступенів № 2 Запорізької області

     
    [
    ]