Повна версія сторінки за адресою: https://school-2.com/theory/algebra/8_form/4.php
§ 4. Функции
Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. | |||||||||||||
Функция обозначается или одной буквой ƒ или ƒ(х), или равенством y = ƒ(x), где х — независимая переменная или аргумент, у — зависимая переменная или значение функции, ƒ(x0) — значение функции ƒ в точке х0. | |||||||||||||
Область определения и множество значений функции | |||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Область определения функции (D) — множество тех значений, которые может принимать аргумент. | |||||||||||||
Множество значений функции (E) — это множество тех значений, которые может принимать сама функция при всех значениях аргумента из области определения. Например: ƒ(x) = . Область определения (0;0): х − 1 ≠ 0; х ≠ 1, x — любое число, кроме х = 1. | |||||||||||||
ГРАФИК ФУНКЦИИ | |||||||||||||
Определение. Графиком функции y = ƒ(x) называется множество точек плоскости с координатами (х;у), где первая координата х «пробегает» всю область определения функции ƒ(х), а вторая координата — это соответствующее значение функции ƒ в точке х. | |||||||||||||
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ | |||||||||||||
1. Аналитический способ: функция задается с помощью математической формулы. | y = x²; y = 5x − 8; y = | ||||||||||||
2. Табличный способ: функция задаётся с помощью таблицы. |
| ||||||||||||
3. Описательный способ: функция задается словесным описанием. | Функция Дирихле: ƒ(х) = 1 для рациональных х, ƒ(х) = 0 для иррациональных х. | ||||||||||||
4. Графический способ: функция задается с помощью графика. |
Линейной функцией называют функцию вида y = kx + b, где k и b — некоторые числа, x — независимая переменная. | |
Свойства | Значения переменных |
---|---|
1. Область определения. | x — любое действительное число x ∈ R. |
2. Множество значений. | 1) При k ≠ 0; y — любое действительное число, x ∈ R. 2) При k = 0; y = b. |
3. Точки пересечения с осями координат. | 1) При k ≠ 0, х = ; y = 0 — точка пересечения с осью 0x. |
4. Возрастание и убывание. | 1) При k > 0 функция возрастает на всей области определения. 2) При k < 0 функция убывает на всей области определения. 3) При k = 0 функция постоянная. |
5. Графиком линейной функции является прямая. k — угловой коэффициент прямой. | 1) При b = 0 (y = kx) — прямая, проходящая через начало координат. |
2) При b ≠ 0 (у = kx + b) — прямая, не проходящая через начало координат (которая получается из прямой y = kx параллельным переносом вдоль оси 0y на b единиц). |
Графики линейных функций | |||
---|---|---|---|
b = 0 (y = kx) | b ≠ 0 (y = kx + b) | ||
Взаимное размещение графиков линейных функций | |
---|---|
Если k1 ≠ k2, графики функций y = k1x + b1 и y = k2x + b2 пересекаются в одной точке. | Если k1 = k2, b1 ≠ b2, графики функций y = k1x + b1 и y = k2x + b2 параллельны. |
Эти графики полезно запомнить | |||
---|---|---|---|
y = x | y = −x | y = |x| | y = 2
|
Определение. Функция y = kx при к ≠ 0 называется прямой пропорциональностью, k — угловой коэффициент. Эта функция является частным случаем линейной функции y = kx + b, при b = 0. Поэтому её графиком является прямая, проходящая через начало координат. | |
1. Если k > 0, то график функции y = kx расположен в I и III координатных углах. | 2. При k < 0 график функции расположен во II и IV координатных углах. |
Характерная точка (0;0). | |
Определения | Графики |
---|---|
Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой , где k — число, не равное нулю. | График
|
Графиком обратной пропорциональности является кривая, которая называется гиперболой. Гипербола состоит из двух отдельных частей, симметричных относительно начала координат, и проходит через точки (1;k) и (−1;−k). | |
Свойства функции | Значения переменных |
1. Область определения обратной пропорциональности: | x — любое число, кроме нуля (x ≠ 0); |
2. Область значений обратной пропорциональности: | y — любое число, кроме нуля (y ≠ 0). |
3. При k > 0 график функции расположен в I и III координатных четвертях. | Если k > 0, то x > 0 соответствует y > 0; x < 0 соответствует y < 0; |
4. При к < 0 график функции расположен во II и IV четвертях. | Если k < 0, то x > 0 соответствует y < 0; x < 0 соответствует y > 0; |
График функции y = x² является параболой. Парабола состоит из двух веток, симметричных относительно оси ординат. | Точка с координатами (0;0) называется вершиной параболы. |
Некоторые свойства функции y = x² | |
---|---|
1. Любому x можно найти соответствующее значение y, причем y ≥ 0; при x = 0 и y = 0. | |
2. Противоположным значениям x соответствует одно и то же значение y: (−х)² = х² = y х1 = −5; y1 = (−5)² = 25. x2 = 5; y2 = 5² = 25, поэтому график имеет симметрию относительно оси 0y. | |
Графиком функции y = x³ является кубическая парабола.Кубическая парабола имеет симметрию относительно начала координат. | График расположен в I и III координатных углах. |
Некоторые свойства функции y = x³ | |
1. Любому значению x соответствует значение y, причем y ∈ R (множеству действительных чисел) при х = 0; y = 0; если х > 0, то y > 0; если х < 0, то y < 0. | |
2. Противоположным значениям х соответствуют противоположные значения y: (−х)³ = −x³ х1 = −5; y1 = (−5)³ = −125. х2 = 5; y2 = 5³ = 125, поэтому график имеет симметрию относительно начала координат. |
Область определения функции y = √x — множество неотрицательных действительных чисел: х ≥ 0 (потому что корень можно извлечь только из неотрицательного числа). | |
Если х = 0, то y = 0, поэтому график функции y = √x проходит через начало координат. Если х > 0, то y < 0, поэтому график функции расположен в первой координатной четверти. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции, действительно: х1 = 4, то y1 = √4 = 2; х2 = 9, то y2 = √9 = 3, то есть х2 > x1 и y2 > y1. Таким образом, функция y =√x является возрастающей. | Графики функций y = √x и y = х² при х ≥ 0 симметричны относительно прямой y = х. |
Дивіться також: