§ 1. Неравенства

ВИДЫ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ

Определения	Примеры
Если a меньше b или a больше b, то записывают так а < b или a > b. Такое выражение называется неравенством.	7 < 10; −8 < −5; 13 > 4; 6,3 > −10,2.
Число а больше числа b, если разность a − b положительное число, число а меньше b, если разность a − b — отрицательное число.	a − b = 7,02, то a > b; a − b = −9,5, то a < b.
На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее — точкой, лежащей левее.
Знаки >, < называются знаками строгих неравенств.	a < b; b > a.
Знаки ≥, ≤ — знаки нестрогих неравенств.	a ≤ b; b ≥ a.
≥ — знак больше или равно (не меньше).	5 ≥ 5; −17,5 ≥ −131,1.
≤ — знак меньше или равно (не больше).	5 ≤ 5; −17,5 ≤ 0,13.
a > b и c > d — неравенства одного знака.	15 > 4,3; −9 > −17.
a > b и c < d — неравенства противоположных знаков.	6,2 > −8; 2 < 10,2.

СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ

1. Если а > b, то b < а; если а < b, то b > а.	13 > 5, то 5 < 13; −12,9 < 4, то 4 > −12,9.
2. Если a > b и b > c, то a > c (свойство транзитивности).	17 > 8; 8 > 5, то 17 > 5.
3. Если a > b, то a + c > b + c.	14 > 9, то 14 + 8 > 9 + 8.
4. Если a > b и c — положительное число (с > 0), то ac > bc. Это свойство имеет следующий смысл: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.	7,2 > −5; 4 > 0, то 7,2 × 4 > −5 × 4, т.е. 28,8 > −20.
5. Если a < b и c отрицательное число (с < 0), то ac > bc. Это свойство имеет следующий смысл: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.	6,9 > 3,5; 6,9 × (−2) и 3,5 × (−2); (−2 < 0), то −13,8 < −7.
6. Если a > b и c > d, то a + c > b + d. Если почленно сложить два верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
7. Если a, b, c, d — положительные числа, причём a > b и c > b, то ac > bd. Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых положительные числа, то получится верное неравенство.
8. Если a > b и c < d, то a − c > b − d.	12 > 7; 5 < 9; 12 − 5 > 7 − 9, то 7 > −2.
9. Если a > b > 0, то .	8 > 4, то .
10. Если a > b > 0, то для любого натурального числа n выполняется неравенство an > bn	6 > 5, то 6² > 5², т.е. 36 > 25.

ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ

Вид промежутка	Геометрическое изображение	Обозначения	Записать с помощью неравенств
Интервал		(a;b)	a < x < b.
Отрезок		[a;b]	a ≤ x ≤ b.
Полуинтервал		(a;b]	a < x ≤ b.
Полуинтервал		[a;b)	a ≤ x < b.
Луч		[a;+∞)	x ≥ a.
Луч		(−∞;b]	x ≤ b.
Открытый луч		(a;+∞)	x > a.
Открытый луч		(−∞;b)	x < b.
! На практике не всегда используют термины «интервал», «отрезок», «полуинтервал», «луч», а заменяют их общим названием «числовой промежуток».

ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Определения
Линейным называется неравенство вида ax > b (или, соответственно, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b), где a ≠ 0 и b ≠ 0 — числа.
Решением неравенства с одной переменной называется множество таких значений переменной, которые обращают его в верное числовое неравенство.
1. Если a > 0, то решение неравенства ax > b имеет вид 2. Если а < 0, то решение неравенства ax ≥ b имеет вид 3. Если a = 0, то неравенство ax > b принимает вид 0x > b, т.е. оно не имеет решения при b ≥ 0 и верно при любых x, если b < 0.
При решении неравенств используются следующие свойства.
Свойства	Примеры
1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.	4 (y − 1) + 7 ≤ 1 − 3 (y + 2); 4y − 4 + 7 ≤ 1 − 3y − 6; 4y + 3y ≤ 1 − 6 + 4 − 7.
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.
3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.	−3x + 8 < 2x − 2; −3x − 2x < −8 −2, x > 2, (2;+∞)

ОЦЕНКА СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО

		(a > 0); (c > 0).
		(a > 0); (c > 0).

Дивіться також: