§ 3. Квадратичная функция

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН И ЕГО КОРНИ

Выражение 2x² − 5х + 3 является многочленом второй степени с одной переменной. Такие многочлены называют квадратными трехчленами.
Определения	Примеры
Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значение этого трехчлена равно нулю. Для того, чтобы найти корни квадратного трехчлена ax² + bx + c, надо решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0.	Найти корни трехчлена: 2x² − 5x + 3 Решим уравнение: 2x² − 5x + 3 = 0 D = 25 − 24 = 1 Значит, квадратный трехчлен имеет два корня: 1 и 1,5.
Если х1 и х2 — корни квадратного трехчлена ах² + bх + с = 0, то ах² + bх + с = а (х − х1) × (х − х2).
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой y = ах² + bх + с, где x — независимая переменная, a, b, c — некоторые числа, причем а ≠ 0.	Примеры квадратичной функции: y = x², y = −x², y = x² + 2, y = (x − 4)². Их графики — равные параболы, только по-разному расположены на координатной плоскости.
Графики функций y = ах² + bх + с и y = ах² — равные параболы, их можно совместить параллельным переносом, т.к. функцию y = ах² + bх + с можно представить в виде y = a (x + m)² − n.	Функцию y = 2x² − 4x + 10 можно записать так: y = 2 (x − 1)² + 8.
Значит, график функции y = ах² + bх + с есть парабола, которую можно получить из графика функции y = ах² с помощью двух параллельных переносов — сдвига вдоль оси x и сдвига вдоль оси y. Отсюда следует, что график функции y = ах² + bх + с есть парабола, вершиной которой является точка (m;n), где m = , n = . Осью симметрии параболы служит прямая x = m, параллельная оси y. При а > 0 ветки параболы направлены вверх, а при а < 0 — вниз.
1. Функция y = ƒ(х) четная или нечетная, если ее область определения симметрична относительно нуля и для каждого значения х из области определения ƒ(−х) = ƒ(х).	2. Если график функции симметричен относительно оси y, то функция является четной. Если график функции симметричен относительно начала координат, то функция является нечетной.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y = mƒ(x)
y = mƒ(x), где m > 0, m ≠ 1, если задан график функции y = ƒ(x).
Ординаты точек графика функции y = mƒ(x) получаются умножением на m соответствующих ординат точек графика функции y = ƒ(x). Такое преобразование графика функции y = ƒ(x) называется растяжением от оси x с коэффициентом m, если m > 1, и сжатием к оси х, если 0 < m < 1.
y = −ƒ(x), если задан график функции y = ƒ(x).
При одном и том же значении х ординаты точек графика функции y = ƒ(x) и функции y = −ƒ(x) отличаются только знаком. Значит, график функции y = −ƒ(x) можно получить из графика y = ƒ(x) преобразованием симметрии последнего относительно оси х.
y = mƒ(x), где m < 0, m ≠ −1, если задан график функции y = ƒ(x).
Так как mƒ(x) = −|m|ƒ(x), то график функции y = mƒ(x) может быть получен при помощи растяжения (сжатия) графика функции y = ƒ(x) от оси x с коэффициентом |m| и последующим преобразованием симметрии относительно x.
y = √x, y = 2√x, y = √x, y = −√x.
1) Построим график функции y = √x. 2) Увеличим ординату каждой точки этого графика в 2 раза, получим y = 2√x. 3) Если ординату каждой точки уменьшим в 2 раза, то получим y = √x. 4) √y = −√x — симметричен графику √x относительно оси x.
1. Чтобы построить график функции y = ƒ(x) + n, нужно график функции y = ƒ(x) перенести на n единиц в направлении оси y, если n > 0 (вверх), или в противоположном направлении (вниз), если n < 0. 2. Чтобы получить график функции y = ƒ(x − m), достаточно график функции y = ƒ(x) перенести на m единиц в направлении оси x (вправо), если m > 0, или на −m единиц в противоположном направлении (влево), если m < 0.

Дивіться також: