МЕНЮ
Учень! Що для тебе (як для школяра) означає школа?





  • ▲  угору сторінки
  • ◄  на попередню сторінку
головна сторінка > Теорія > Алгебра > 9 класс > § 4

§ 4. Квадратные неравенства

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ
ОпределенияПримеры
Неравенство вида ax² + bx + c > 0 (ax² + bx + c < 0),
где a, b, c — некоторые числа,
a ≠ 0 и x — переменная,
называется квадратным.
а) −3x² + x − 5 < 0;
б) x (x + 4) ≤ 3, т.к. x² + 4x − 3 ≤ 0.
Для решения квадратных неравенств используют эскиз графика функции
y = ax² + bx + c, т.е. параболы.

x ∈ (−∞;−1] ∪

3x² − 7x − 10 ≥ 0
y = 3x² − 7x − 10
график — парабола, ветки направлены вверх, ось 0х пересекает в точках

x1 = −1; x2 =

Решение любого квадратного неравенства можно свести к одному из шести случаев таблицы.
 D < 0D = 0D > 0
a > 0

ax² + bx + c > 0:
x — любое число;
ax² + bx + c < 0:
решений нет.

ax² + bx + c > 0:
x ∈ (−∞;x0) ∪ (x0;+∞);
ax² + bx + c < 0:
решений нет.

ax² + bx + c > 0:
x ∈ (−∞;x1) ∪ (x2;+∞);
ax² + bx + c < 0:
x ∈ (x1;x2).

a < 0

ax² + bx + c > 0:
решений нет;
ax² + bx + c < 0:
x — любое число.

ax² + bx + c > 0:
решений нет;
ax² + bx + c < 0:
x ∈ (−∞;x0) ∪ (x0;+∞).

ax² + bx + c > 0:
x ∈ (x1;x2);
ax² + bx + c < 0:
x ∈ (−∞;x1) ∪ (x2;+∞).

! Решением неравенства ax² + bx + c > 0 являются значения x, для которых точки параболы расположены над осью 0x.

! Решением неравенства ax² + bx + c < 0 являются значения x, для которых точки параболы расположены под осью 0x.

Алгоритм решения квадратных неравенств вида ax² + bx + c > 0, или ax² + bx + c < 0.
Решить неравенство7x + 10 − 3x² ≤ 0.
1. Определяем направление ветвей параболы, соответствующей функции y = ax² + bx + c.

2. Находим корни квадратного трехчлена ax² + bx + c (решаем уравнение ax² + bx + c = 0).

3. Строим эскиз графика функции y = ax² + bx + c.

4. Выбираем значения переменной, которые соответствуют решению неравенства.

5. Записываем ответ.

3x² − 7x − 10 ≤ 0

1. a = −3; ветки направлены вниз.

2. 3x² − 7x − 10 = 0; D = 169; x1 = −1; x2 =

3.

4. x ∈ (−∞;−1) ∪

5. Ответ: (−∞;−1) ∪

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ
Если левая часть неравенства является произведением, а правая часть — 0, т.е. ƒ(x) > 0 (ƒ(x) < 0) и ƒ(x) = (x − a) (x − b) ... (x − c), где a, b, c — некоторые числа, то такие неравенства решают методом интервалов.
Алгоритм решения неравенств методом интервалов:

1. Найти ОДЗ функции y = ƒ(x).

2. Найти нули функции y = ƒ(x) (ƒ(x) = 0).

3. Нанести нули на ОДЗ.

4. Определить знаки и функции ƒ(x) в каждом интервале, на которые разбивается ОДЗ нулями функции.

5. Записать ответ.

Решить неравенство (x + 6) (x + 1) (x − 4) < 0.

1. ОДЗ: x ∈ R.

2. Нули функции: (x + 6) (x + 1) (x − 4) = 0;
x1 = −6; x2 = −1; x3 = 4.

3. Нанесем нули на ОДЗ:

Ответ: (−∞;−6) ∪ (−1;4).

! Если все множители функции y = ƒ(x) вида (x − a), т.е. линейные, то знаки на промежутках из ОДЗ можно чередовать справа налево с «+» на «−».

Дивіться також:

  • Системы неравенств с одной переменной
  • Неравенства
  • Квадратичная функция
  • Уравнения, сводящиеся к квадратным. Системы уравнений
  • Элементы прикладной математики
  • Числовые последовательности
  • Якщо Ви помітили помилку, виділіть необхідний текст та натисніть Ctrl+Enter

    © 2008-2024. Офіційний сайт Бердянської ЗОШ І-ІІІ ступенів № 2 Запорізької області

     
    [
    ]