§ 4. Квадратные неравенства

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Определения		Примеры
Неравенство вида ax² + bx + c > 0 (ax² + bx + c < 0), где a, b, c — некоторые числа, a ≠ 0 и x — переменная, называется квадратным.		а) −3x² + x − 5 < 0; б) x (x + 4) ≤ 3, т.к. x² + 4x − 3 ≤ 0.
Для решения квадратных неравенств используют эскиз графика функции y = ax² + bx + c, т.е. параболы.	x ∈ (−∞;−1] ∪	3x² − 7x − 10 ≥ 0 y = 3x² − 7x − 10 график — парабола, ветки направлены вверх, ось 0х пересекает в точках x1 = −1; x2 =

Решение любого квадратного неравенства можно свести к одному из шести случаев таблицы.
	D < 0	D = 0	D > 0
a > 0	ax² + bx + c > 0: x — любое число; ax² + bx + c < 0: решений нет.	ax² + bx + c > 0: x ∈ (−∞;x0) ∪ (x0;+∞); ax² + bx + c < 0: решений нет.	ax² + bx + c > 0: x ∈ (−∞;x1) ∪ (x2;+∞); ax² + bx + c < 0: x ∈ (x1;x2).
a < 0	ax² + bx + c > 0: решений нет; ax² + bx + c < 0: x — любое число.	ax² + bx + c > 0: решений нет; ax² + bx + c < 0: x ∈ (−∞;x0) ∪ (x0;+∞).	ax² + bx + c > 0: x ∈ (x1;x2); ax² + bx + c < 0: x ∈ (−∞;x1) ∪ (x2;+∞).
! Решением неравенства ax² + bx + c > 0 являются значения x, для которых точки параболы расположены над осью 0x. ! Решением неравенства ax² + bx + c < 0 являются значения x, для которых точки параболы расположены под осью 0x.

Алгоритм решения квадратных неравенств вида ax² + bx + c > 0, или ax² + bx + c < 0.
Решить неравенство	7x + 10 − 3x² ≤ 0.
1. Определяем направление ветвей параболы, соответствующей функции y = ax² + bx + c. 2. Находим корни квадратного трехчлена ax² + bx + c (решаем уравнение ax² + bx + c = 0). 3. Строим эскиз графика функции y = ax² + bx + c. 4. Выбираем значения переменной, которые соответствуют решению неравенства. 5. Записываем ответ.	3x² − 7x − 10 ≤ 0 1. a = −3; ветки направлены вниз. 2. 3x² − 7x − 10 = 0; D = 169; x1 = −1; x2 = 3. 4. x ∈ (−∞;−1) ∪ 5. Ответ: (−∞;−1) ∪

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ

Если левая часть неравенства является произведением, а правая часть — 0, т.е. ƒ(x) > 0 (ƒ(x) < 0) и ƒ(x) = (x − a) (x − b) ... (x − c), где a, b, c — некоторые числа, то такие неравенства решают методом интервалов.
Алгоритм решения неравенств методом интервалов: 1. Найти ОДЗ функции y = ƒ(x). 2. Найти нули функции y = ƒ(x) (ƒ(x) = 0). 3. Нанести нули на ОДЗ. 4. Определить знаки и функции ƒ(x) в каждом интервале, на которые разбивается ОДЗ нулями функции. 5. Записать ответ.	Решить неравенство (x + 6) (x + 1) (x − 4) < 0. 1. ОДЗ: x ∈ R. 2. Нули функции: (x + 6) (x + 1) (x − 4) = 0; x1 = −6; x2 = −1; x3 = 4. 3. Нанесем нули на ОДЗ: Ответ: (−∞;−6) ∪ (−1;4).
! Если все множители функции y = ƒ(x) вида (x − a), т.е. линейные, то знаки на промежутках из ОДЗ можно чередовать справа налево с «+» на «−».

Дивіться також: