§ 6. Числовые последовательности

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Определения	Примеры
Числовая последовательность задана, если любому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое число an.	3; 10; 11; 13; 16; 20;... 4; 7; 10; 13; 16;...
Последовательность задают при помощи формулы n-го члена, тогда нетрудно вычислить любой ее член.	Последовательность (an) задана формулой an = n³, n ∈ N, 1; 8; 27; 64;...
Последовательности бывают конечные и бесконечные. Последовательность (an) называется возрастающей (убывающей), если для любого номера n справедливо неравенство: an+1 > an (an+1 < an), где an — предыдущий член, an+1 — последующий член последовательности.	2; 4; 6; 8; 10; 12;... — возрастающая. — убывающая.
Числовая последовательность an, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавлено одно и то же число, называется арифметической прогрессией. Это число обозначают буквой d и называют разностью арифметической прогрессии.	1; 3; 5; 7; 9 — арифметическая прогрессия a1 = 1; d = 2. 30; 25; 20; 15; 10; 5;... a1 = 30; d = −5.
Первые члены арифметической прогрессии будут: a1; a1 + d; a1 + 2d; a1 + 3d;...	−50; −40; −30; −20;... a1 = −50; d = 10.
Формула n-го члена арифметической прогресии: an = a1 + d (n − 1), n ∈ N.	a6 = −50 + 10 (6 − 1) = −50 + 10 × 5 = 0. a6 = 0.
Последовательность (an) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов, то есть: an = , где n ≥ 2, n ∈ N. Сумма двух членов конечной арифметической прогрессии, равноудаленных от ее концов, равна сумме крайних членов. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: Sn = , или Sn = , n ∈ N.	4; 7; 10; 13; 16;... a1 = 4; d = 3. S5 = = 50 или S5 = = 50.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Определения	Примеры
Числовую последовательность (bn), каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называют геометрической прогрессией. Это число обозначают q и называют знаменателем геометрической прогрессии.	1/3; 1; 3; 9; 27;... 2; 4; 8; 16; 32; 64;... b1 = 2, q = 2. 1; ;... b1 = 1; q = ½.
Первыми членами геометрической прогрессии будут: b1; b1q; b1q²; b1q³;... Формула n-го члена геометрической прогрессии: bn = b1qn−1, n ∈ N.	; 1; 2; 4;... b1 = ; q = 2; b10 = × 210−1 = × 29 = 32.
Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних с ним членов: bn² = bn−1 × bn+1, n≥ 2, n ∈ N.	b3² = b2 × b4, т.е. 27² = 9 × 81, 729 = 729.
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии: , n ∈ N, q ≠ 1 или , n ∈ N, q ≠ 1.	1) 3, 9, 27, 81, 243,... q = 3
Если (bn) — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (|q| < 1), то ее сумма вычисляется по формуле:

Дивіться також: