МЕНЮ
Учень! Що для тебе (як для школяра) означає школа?





  • ▲  угору сторінки
  • ◄  на попередню сторінку
головна сторінка > Теорія > Алгебра > 9 класс > § 7

§ 7. Элементы прикладной математики

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Математическими методами решают не только абстрактные математические задачи, но и многие прикладные задачи. Прикладными задачами в математике называют задачи, условия которых содержат нематематические понятия. Решая прикладную задачу математическими методами, сначала создают ее математическую модель.
Моделью называется специально созданный объект, отображающий свойства исследуемого объекта. Уменьшенные модели самолета, автомобиля, здания — примеры физических моделей. Математические модели создают, используя математические понятия и отношения: геометрические фигуры, числа, выражения и т.п. Математическими моделями в большинстве случаев бывают функции, уравнения, неравенства, их системы.
Решение прикладной задачи математическими методами осуществляется в три этапа:
1) создание математической модели данной задачи;
2) решение соответствующей математической задачи;
3) анализ ответа.
Схематически эти этапы можно изобразить так:
A → B → C → D;
A — данная прикладная задача,
B — ее математическая модель,
C — ответ для модели,
D — ответ для данной прикладной задачи А.
Чтобы создать соответствующую модель, нужно знать не только математику, но и ту отрасль науки или производства, с которой связана данная прикладная задача. Если модель составлена неправильно, то неправильными будут и решение задачи, и ответ. Важным является также последний этап решения прикладной задачи. Ответ C может быть точным для задачи B, ответ для прикладной задачи A почти всегда может быть только приближенным. Поэтому его следует записывать соответственно с правилами приближенных вычислений.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ОпределенияПримеры
При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая, следующая за этим разрядом, цифра больше или равна пяти, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая, следующая за этим разрядом, цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют. Округлить число α = 2471,05624 с точностью до:
а) десятков;
б) единиц;
в) десятых;
г) сотых;
д) тысячных.
Решение.
а) α ≈ 2470;
б) α ≈ 2471;
в) α ≈ 2471,1;
г) α ≈ 2471,06;
д) α ≈ 2471,056.
Все найденные значения в примере называются приближенными значениями числа α = 2471,05624.
Приближенные значения появляются не только при округлении чисел, чаще они возникают при различных измерениях (длин, масс, температур и т.д.). Пусть a — приближенное значение числа α. Тогда модуль разности точного и приближенного значения чисел α и a, т.е. |α − a|, называется абсолютной погрешностью приближенного значения числа α, а отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения называется относительной погрешностью приближенного значения. Относительную погрешность обычно выражают в процентах. Если точное значение величины неизвестно, то неизвестна и абсолютная погрешность ее приближенного значения. В таком случае указывают границу абсолютной погрешности — число, которого не превышает абсолютная погрешность. Взвесив деталь, масса которой равна 54,12705 г, на весах с ценой деления шкалы 0,1 г, получили приближенное значение массы 54,1 г. Найти абсолютную и относительную погрешности этого приближенного значения.
Решение: Абсолютная погрешность равна 54,12705 − 54,1 = 0,02705, относительная погрешность равна

= 0,05%.

Если x = 4,273 ± 0,002, т.е. 4,271 < x < 4,275, то граница абсолютной погрешности равна 0,002.

Приближенные значения можно записывать и без границ. При этом договорились записывать их так, чтобы все их цифры, кроме последней, были верными, а остальные (сомнительные) отличались от верных не более чем на единицу. Например, когда пишут x = 6,428 м, то понимают, что х = 6,428 ± 0,001 м. Если y = 3,247 ± 0,002 кг, то говорить y = 3,247 кг не принято, такой результат желательно округлить: y = 3,25 кг.
Верной цифрой приближённого значения называют цифру любого разряда, если абсолютная погрешность не превосходит единицы этого разряда. В таблице плотности вещества указано, что приближенное значение плотности кислорода ρ (в кг/м³) равно 1,429. В записи 1,429 все цифры верные. Значит, абсолютная погрешность меньше или равна 0,001.
1) y = 73 ± 1;
72 ≤ y ≤ 74;
2) ρ = 1,429 ± 0,001;
1,428 < ρ < 1,430;
3) y = 6,5 ± 0,1;
6,5 − 0,1 ≤ y ≤ 6,5 + 0,1;
6,4 ≤ y ≤ 6,6.
Напомним, что десятичными знаками числа называют все его цифры, стоящие справа от десятичной запятой. В приближенном значении 0,02085 пять десятичных знаков и четыре — значащие цифры: 2; 0; 8; 5.
Значащими цифрами числа называют все его цифры, кроме нулей слева и нулей справа, стоящих на местах цифр, замененных при округлении.
При сложении и вычитании приближенных значений в результате следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их имеет компонент действия с наименьшим числом десятичных знаков. 1) 4,24 + 1,5 = 5,7; 4,24 − 1,5 = 2,7.
2) х ≈ 17,2; y ≈ 8,407; x + y = 17,24 + 8,407 = 25,607; x + y ≈ 25,6.
3)x ≈ 6,784; y ≈ 4,91; x − y ≈ 1,874; x − y ≈ 1,87.
При умножении приближенных значений в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет множитель с наименьшим числом значащих цифр. Подобным правилом пользуются и при делении приближенных значений. Перемножим (разделим) данные приближенные значения.

1) 8,23

Ответ: 12,3.

2) х ≈ 563,2;
y ≈ 32;
x : y ≈ 17,6;
Ответ: x : y ≈ 18.

СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
Понятие сложного процента встречается при увеличении (уменьшении) числа на р% несколько раз (ежегодно, ежемесячно, ежедневно) без изъятия прироста, т.е. каждый год начисляется процент с учетом наращенной величины.
Вычислять сложные проценты удобно с помощью таблицы, если ввести коэффициент увеличения (уменьшения) — k.
 1-й год2-й год3-й годn-й год

Ежегодное увеличение на р% (k = 1 + )

Былоakak²a 
Приросло за год × a × ka × k²a 
Сталоa + × a =

= (1 + ) a =

= ka

ka + × ka =

= (1 + ) ka =

= k²a

k²a + × k²a =

= (1 + ) k²a =

= k³a

kna
Ежегодное уменьшение на p% (k = 1 − )
Былоakak²a 
Уменьшилось за год × a × ka × k²a 
Сталоa − × a =

= (1 − ) a =

= ka

ka − × ka =

= (1 − ) ka =

= k²a

k²a − × k²a =

= (1 − ) k²a =

= k³a

kna
ПРОЦЕНТНЫЕ РАСЧЕТЫ
ОпределенияПримеры
Процент — это одна сотая часть целого.
1% = 0,01; 25% = 0,25; 50% = 0,5; 100% = 1.
Часто приходится решать задачи на проценты бухгалтерам и работникам банка. Вложенный в сбербанк начальный капитал A0 под p% годовых через n лет превратится в наращенный капитал.

An = A0 (1 + ) n.

Это формула сложных процентов. Она находит применение не только в финансовых вопросах; ею пользуются для определения численности населения страны или города, роста поголовья скота и в других вопросах. Подобные понятию процента промилле и проба.

Промилле — это одна тысячная
(1‰ — 0,001).

Пробами характеризуют сплавы драгоценных металлов. Так, золото 875-й пробы — это сплав, в 1000 г которого содержится 875 г чистого золота.

Из сахарной свеклы при переработке получается 16% сахара. Сколько нужно взять свеклы, чтобы получить 48 ц сахара?

48 : 0,16 = 300 (ц) или × 100 = 300 (ц).

Из 35 учеников класса на уроке присутствуют 28. Найти процент посещаемости.

28 : 35 × 100 = = 80%.

Ответ: 80%.

Латунь — сплав 60% меди и 40% цинка. Сколько меди и цинка нужно сплавить, чтобы вышло 500 г латуни?

1) 500 × 0,6 = 300 г (меди);

2) 500 × 0,4 = 200 г (цинка).

Дивіться також:

  • Уравнения, сводящиеся к квадратным. Системы уравнений
  • Квадратные неравенства
  • Системы неравенств с одной переменной
  • Неравенства
  • Квадратичная функция
  • Числовые последовательности
  • Якщо Ви помітили помилку, виділіть необхідний текст та натисніть Ctrl+Enter

    © 2008-2024. Офіційний сайт Бердянської ЗОШ І-ІІІ ступенів № 2 Запорізької області

     
    [
    ]