Многогранники. Призма

Інформація про школу
Наші вчителі та директори
Школа для батьків
- Батьківський комітет
  - Графік роботи
  - Благодійна допомога
- Сторінка психолога
- Сторінка соц. педагога
- Сторінка завуча з ВР
- Батькам 1-класників
- Безпека дітей
- Законодавча база
- Звіт директора
Учні нашої школи
- Позакласні гуртки
  - Хореографічний
  - Журналістський
- Група продовженого дня
- Переможці олімпіад
- Самоврядування
- Для абітурієнтів
- Профорієнтація
  - Інститут філології БДПУ
  - Прикордонна служба
- Рейтинг класів
  - 2013-2014 н.р.
  - 2012-2013 н.р.
- Список підручників
  - Початкова школа
  - Середня/старша школа
- Критерії оцінювання
- Обов'язки учнів
Наші випускники
Життя школи
Шкільна фотогалерея
Інші корисні ресурси
Гостьова книга
Додати інформацію на сайт

▲ угору сторінки
◄ на попередню сторінку

§ 1. Многогранники. Призма

Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей прямой, которая их ограничивает.
Полуплоскости α и β — грани двугранного угла.
C — ребро двугранного угла.

Линейным углом двугранного угла называется угол между лучами, по которым плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани.
Плоскость линейного угла перпендикулярна каждой грани двугранного угла.
γ ⊥ C; γ ∩ α = AM; γ ∩ β = MB;
∠AMB — линейный угол;
0 ≤ AMB ≤ 180°.
Способы построения линейного угла:
1) На ребре выбирается точка, через нее в гранях проводятся лучи, перпендикулярные ребру. Угол, образованный этими лучами, и будет искомым линейным углом.
M ∈ c;
MA ⊥ c (в грани α);
MB ⊥ c (в грани β);
∠AMB — линейный.
2) В одной из граней берется точка A, из нее опускается перпендикуляр AB на другую грань и AC — на ребро. Тогда или угол ACB, или смежный с ним и будет линейным углом.

МНОГОГРАННИК
Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

ПРИЗМА
Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещающихся параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.
Элементы призмы
1. Основания призмы ABCDE и A₁B₁C₁D₁E₁.
2. Боковые грани AA₁B₁B, BB₁C₁C, ...
3. Боковые ребра AA₁, BB₁, ...
4. Вершины призмы A, B, ...
5. Высоты призмы H₁H (расстояние между плоскостями ее оснований).
6. Диагональ призмы B₁E (отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани).
7. Диагональное сечение AA₁C₁C (сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани).
8. Перпендикулярное сечение призмы — сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам (или их продолжениям).

Свойства
1. Основания призмы равны и параллельны.
2. Боковые ребра равны и параллельны.
3. Боковые грани — параллелограммы.
Виды призм
1. Прямая призма — призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям (рис. 1).
Свойства прямой призмы:
а) Высота прямой призмы равна боковому ребру.
H_{прямой призмы} = AA = BB = ...
б) Боковые грани прямой призмы — прямоугольники.
ABB₁A₁ — прямоугольник, BCC₁B₁ — прямоугольник, ...
рис. 1
2. Наклонная призма — призма, у которой боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований (рис. 2).
3. Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. У такой призмы все боковые грани — равные прямоугольники.
4. Треугольная, четырехугольная, ..., n-угольная призма — в основании призмы лежит треугольник, четырехугольник, ..., n-угольник.
рис. 2

треугольная четырехугольная пятиугольная шестиугольная

Площадь поверхности и объем призмы
Наклонная призма Прямая призма
Боковая поверхность S_бок. = P_пер. × l
P_пер. — периметр перпендикулярного сечения,
l — длина бокового ребра.
S_бок. = P_осн. × H
P_осн. — периметр основания,
H — высота.
Полная поверхность S_полн. = S_бок. + 2 × S_осн. S_полн. = S_бок. + 2 × S_осн.
Объем V = S_пер. × l;
V = S_осн. × H
S_пер. — площадь перпендикулярного сечения,
l — боковое ребро.
V = S_осн. × H
S_осн. — площадь основания призмы,
H — высота.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм.
Свойства
1. У параллелепипеда все грани — параллелограммы.
2. У параллелепипеда противоположные грани параллельны и равны.
3. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
O — середина A₁C, BD₁, AC₁, B₁D.
O — центр симметрии параллелепипеда.

Виды параллелепипедов
Прямой параллелепипед Наклонный параллелепипед Прямоугольный параллелепипед
Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. У прямого параллелепипеда четыре боковые грани — прямоугольники, а два основания — параллелограммы. Параллелепипед, у которого боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований. У наклонного параллелепипеда все шесть граней — параллелограммы. Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, называются его измерениями.

Свойства прямоугольного параллелепипеда
1. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.
2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений. d² = a² + b² + c² (AC₁² = AB² + AD² + AA₁²).
3. В прямоугольном параллелепипеде все 4 диагонали равны между собой.
4. V_{прямоуг. парал.} = AB × AD × AA₁ = abc.
5. S_бок. = P_осн. × AA₁ = 2 (AB + AD) × AA₁ = 2 (a + b) c;
6. S_полн. = S_бок. + 2S_осн..

КУБ
Кубом называется прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.
Свойства
1. У куба все грани — квадраты.
2. a√3 (d² = a² + a² + a², где a — ребро куба, d — диагональ куба).
3. V_куба = a³.
4. S_{бок. куба} = 4a²; S_{полн. куба} = 6a².

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ
Построить сечение означает начертить многоугольник в плоскости сечения, по которому эта плоскость пересекает грани многогранника.
Следом сечения на указанной плоскости называется прямая пересечения этой плоскости с плоскостью сечения.
Основные правила построения сечений
1. Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения в этой плоскости — прямая, проходящая через эти точки.
2. Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью (она является точкой пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани).
3. Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.
Способы построения сечений
Способ соответствия состоит в том, что для построения сечения нужно сначала построить те точки нижнего основания многогранника, которые взаимно однозначно соответствуют точкам искомого сечения.
Способ следов состоит в том, что на плоскости нижнего основания (иногда на какой-то другой плоскости) выполняется построение следов (линий и точек пересечения секущей плоскости, некоторых прямых). С помощью этих следов легко выполняется построение точек пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и линий пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.

Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей прямой, которая их ограничивает. Полуплоскости α и β — грани двугранного угла. C — ребро двугранного угла.
Линейным углом двугранного угла называется угол между лучами, по которым плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани. Плоскость линейного угла перпендикулярна каждой грани двугранного угла.	γ ⊥ C; γ ∩ α = AM; γ ∩ β = MB; ∠AMB — линейный угол; 0 ≤ AMB ≤ 180°.
Способы построения линейного угла: 1) На ребре выбирается точка, через нее в гранях проводятся лучи, перпендикулярные ребру. Угол, образованный этими лучами, и будет искомым линейным углом.	M ∈ c; MA ⊥ c (в грани α); MB ⊥ c (в грани β); ∠AMB — линейный.
2) В одной из граней берется точка A, из нее опускается перпендикуляр AB на другую грань и AC — на ребро. Тогда или угол ACB, или смежный с ним и будет линейным углом.

МНОГОГРАННИК
Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

ПРИЗМА
Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещающихся параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.
Элементы призмы
1. Основания призмы ABCDE и A₁B₁C₁D₁E₁. 2. Боковые грани AA₁B₁B, BB₁C₁C, ... 3. Боковые ребра AA₁, BB₁, ... 4. Вершины призмы A, B, ... 5. Высоты призмы H₁H (расстояние между плоскостями ее оснований). 6. Диагональ призмы B₁E (отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани). 7. Диагональное сечение AA₁C₁C (сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани). 8. Перпендикулярное сечение призмы — сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам (или их продолжениям).
Свойства
1. Основания призмы равны и параллельны. 2. Боковые ребра равны и параллельны. 3. Боковые грани — параллелограммы.
Виды призм
1. Прямая призма — призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям (рис. 1). Свойства прямой призмы: а) Высота прямой призмы равна боковому ребру. H_{прямой призмы} = AA = BB = ... б) Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. ABB₁A₁ — прямоугольник, BCC₁B₁ — прямоугольник, ...	рис. 1
2. Наклонная призма — призма, у которой боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований (рис. 2). 3. Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. У такой призмы все боковые грани — равные прямоугольники. 4. Треугольная, четырехугольная, ..., n-угольная призма — в основании призмы лежит треугольник, четырехугольник, ..., n-угольник.	рис. 2

Площадь поверхности и объем призмы
	Наклонная призма	Прямая призма
Боковая поверхность	S_бок. = P_пер. × l P_пер. — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра.	S_бок. = P_осн. × H P_осн. — периметр основания, H — высота.
Полная поверхность	S_полн. = S_бок. + 2 × S_осн.	S_полн. = S_бок. + 2 × S_осн.
Объем	V = S_пер. × l; V = S_осн. × H S_пер. — площадь перпендикулярного сечения, l — боковое ребро.	V = S_осн. × H S_осн. — площадь основания призмы, H — высота.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм.
Свойства
1. У параллелепипеда все грани — параллелограммы. 2. У параллелепипеда противоположные грани параллельны и равны. 3. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. O — середина A₁C, BD₁, AC₁, B₁D. O — центр симметрии параллелепипеда.

Виды параллелепипедов
Прямой параллелепипед	Наклонный параллелепипед	Прямоугольный параллелепипед
Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. У прямого параллелепипеда четыре боковые грани — прямоугольники, а два основания — параллелограммы.	Параллелепипед, у которого боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований. У наклонного параллелепипеда все шесть граней — параллелограммы.	Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, называются его измерениями.

Свойства прямоугольного параллелепипеда
1. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники. 2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений. d² = a² + b² + c² (AC₁² = AB² + AD² + AA₁²). 3. В прямоугольном параллелепипеде все 4 диагонали равны между собой. 4. V_{прямоуг. парал.} = AB × AD × AA₁ = abc. 5. S_бок. = P_осн. × AA₁ = 2 (AB + AD) × AA₁ = 2 (a + b) c; 6. S_полн. = S_бок. + 2S_осн..

КУБ
Кубом называется прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.
Свойства
1. У куба все грани — квадраты. 2. a√3 (d² = a² + a² + a², где a — ребро куба, d — диагональ куба). 3. V_куба = a³. 4. S_{бок. куба} = 4a²; S_{полн. куба} = 6a².

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ
Построить сечение означает начертить многоугольник в плоскости сечения, по которому эта плоскость пересекает грани многогранника. Следом сечения на указанной плоскости называется прямая пересечения этой плоскости с плоскостью сечения.
Основные правила построения сечений
1. Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения в этой плоскости — прямая, проходящая через эти точки. 2. Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью (она является точкой пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани). 3. Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.
Способы построения сечений
Способ соответствия состоит в том, что для построения сечения нужно сначала построить те точки нижнего основания многогранника, которые взаимно однозначно соответствуют точкам искомого сечения. Способ следов состоит в том, что на плоскости нижнего основания (иногда на какой-то другой плоскости) выполняется построение следов (линий и точек пересечения секущей плоскости, некоторых прямых). С помощью этих следов легко выполняется построение точек пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и линий пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.

Дивіться також:

Комбинации геометрических сил