§ 4. Комбинации геометрических сил

Возможные типы комбинаций
1. Многогранник и многогранник. (Призма, вписанная в пирамиду, или пирамида, вписанная в призму, и другие.)
2. Многогранник и тело вращения. (Пирамида, вписанная в конус, или конус, вписанный в пирамиду; цилиндр, вписанный в пирамиду, или пирамида, вписанная в цилиндр, и другие; шар, вписанный в пирамиду, или пирамида, вписанная в шар; призма, вписанная в шар, или шар, вписанный в призму, и другие.)
3. Тело вращения и тело вращения. (Шар, вписанный или описанный около цилиндра, конуса, и другие.)
Цилиндром, вписанным в призму, называется цилиндр, основания которого — круги, вписанные в основание призмы, а боковая поверхность цилиндра касается боковых граней призмы. Радиус цилиндра — r. Ось цилиндра совпадает с высотой призмы — H.
Цилиндр называется описанным около призмы, если его основания — круги, описанные около оснований призмы, а образующие совпадают с ребрами призмы. Радиус цилиндра — R. Ось цилиндра совпадает с высотой призмы — H.
Конусом, вписанным в пирамиду, называется конус, основание которого — круг, вписанный в многоугольник основания пирамиды, вершина совпадает с вершиной пирамиды, боковая поверхность конуса касается боковых граней пирамиды. r — радиус конуса; H — высота пирамиды и конуса.
Конус называется описанным около пирамиды, если его основание — круг, описанный около пирамиды, вершина совпадает с вершиной пирамиды, а образующие совпадают с ребрами пирамиды. Высоты конуса и пирамиды совпадают на основании единственности прямой, перпендикулярной плоскости и проведенной через точку, не лежащую в данной плоскости. Радиус вписанной в основание пирамиды окружности (круга) перпендикулярен стороне многоугольника, лежащего в основании пирамиды, и является проекцией образующей конуса на плоскость основания. R — радиус конуса; H — высота пирамиды и конуса.
Шар называется вписанным в многогранник, если все грани многогранника касаются шара. Многогранник в этом случае называется описанным около шара (сферы). Центр шара, вписанного в многогранник, равноудален от всех его граней. Он является точкой пересечения полуплоскостей, проведенных через ребра двугранных углов, образованных двумя смежными гранями, которые делят этот угол пополам. Расстояние от центра шара до граней — его радиус.
Шар называется описанным около многогранника, если все вершины многогранника лежат на поверхности шара (сферы). В этом случае многогранник называют вписанным в шар. Центр шара, описанного около многогранника, равноудален от всех его вершин, то есть является точкой пересечения плоскостей, проведенных через середины ребер многогранника (призмы, пирамиды) перпендикулярно им. Расстояние от центра шара до вершины многогранника — его радиус.
Шар можно описать около призмы, только если она прямая и ее основание является прямоугольником, вписанным в окружность. Центр шара, описанного около прямой призмы, лежит на середине высоты призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы. O — центр шара; R — радиус шара; O1O2 — высота призмы; r — радиус окружности, описанной около основания призмы. R² = + r².
Примечание. Центр шара, описанного около прямоугольного параллелепипеда, лежит в точке пересечения диагоналей параллелепипеда, а каждая диагональ параллелепипеда является диаметром описанного шара.
Шар можно вписать в прямую призму, если ее основания являются многоугольниками, описанными около окружности, а высота призмы равна диаметру шара и диаметру этой окружности. Центр шара, вписанного в прямую призму, лежит на середине отрезка, соединяющего центры окружностей, вписанных в основания призмы. Причем радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы, а диаметр шара равен высоте призмы. O — центр шара; R — радиус шара; O1O2 — высота призмы и диаметр шара; r — радиус окружности, вписанной в основание призмы. R = r = .
Примечание. Шар можно вписать и в некоторые наклонные призмы. Если рассмотреть перпендикулярное сечение призмы, проходящее через центр вписанного шара, то получим, что радиус шара, вписанного в наклонную призму, равен радиусу окружности, вписанной в перпендикулярное сечение призмы, а диаметр шара равен высоте призмы.
Если в многогранник можно вписать сферу, то объем многогранника равен одной трети произведения площади полной поверхности многогранника на радиус вписанной сферы. V = r Sполн.многогр. A0B0C0 — перпендикулярное сечение A0B0C0 ⊥ AA1, то rвпис.шара = rокр., впис. в перпенд. сечение A0B0C0, dвпис. шара = Hпризмы.
Шар называется описанным около пирамиды, если все вершины пирамиды лежат на поверхности шара. O1 — центр описанного шара; AO1 = BO1 = CO1 = SO1 = Rопис. шара.
Центр шара, описанного около произвольной пирамиды, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания, проходящей через центр окружности, описанной около основания, в точке пересечения этой прямой с плоскостью, перпендикулярной боковому ребру и проходящей через его середину. O — центр окружности, описанной около основания, OO1 ⊥ ABC; M — середина SA, α ⊥ SA (M ∈ α); α пересекает OO1 в точке O1; O1 — центр описанного шара.
Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания, то центр описанного шара лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды в точке пересечения этой прямой с серединным перпендикуляром к боковому ребру. SO — высота пирамиды, O — центр окружности, описанной около основания пирамиды, M — середина ребра SA, MO1 ∩ SA в точке O1; O1 — центр описанного шара, SO1 = R (шара); AO = r (окружности, описанной около основания пирамиды).
Примечание. Центр описанного шара может находиться в середине пирамиды (на высоте, рис. 1); вне пирамиды (на продолжении высоты, рис. 2); в плоскости основания пирамиды (совпадает с основанием высоты пирамиды, рис. 3). Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Если центр описанного шара лежит на высоте пирамиды (или на ее продолжении), то при решении некоторых задач можно использовать такой прием: продлить высоту пирамиды до пересечения с шаром в точке S1 и соединить точку S1 с точкой A. Тогда SS1 — диаметр шара и ∠SAS1 = 90° как вписанный угол, опирающийся на диаметр.
Шар называется вписанным в пирамиду, если все грани пирамиды касаются шара. O1 — центр шара; K — точка касания с гранью SAC; O1K = r (радиус шара), O1K ⊥ SAC.
Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание, то центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды, в точке пересечения высоты с биссектрисой линейного угла двугранного угла при основании пирамиды. (Считают, что плоскость линейного угла проходит через высоту пирамиды.) SO — высота пирамиды; O — центр окружности, вписанной в основание пирамиды; ∠SMO — линейный (OM ⊥ BC; SM ⊥ BC); MO1 — биссектриса ∠SMO; O1 — центр вписанного шара; OO1 — радиус вписанного шара; OM — радиус окружности, вписанной в основание пирамиды.
Примечание. Центр шара, вписанного в пирамиду, лежит в точке пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов при ребрах пирамиды.
Биссекторной плоскостью двугранного угла называется плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и делит этот угол пополам. O1 — центр вписанного шара; BCO1 — биссекторная плоскость двугранного угла при ребре BC; O1K ⊥ ABC; O1K — радиус вписанного шара.
Шар называется вписанным в цилиндр (конус), если основания (основание) и все образующие, которые образуют цилиндр (конус), касаются шара. Такой цилиндр (конус) называется описанным около шара.
Шар можно вписать только в такой цилиндр, высота которого равна диаметру основания (такой цилиндр называют равносторонним). Шар касается оснований цилиндра в их центрах и боковой поверхности цилиндра по большей окружности шара, параллельной основаниям цилиндра. Диаметр шара равен высоте цилиндра. R — радиус вписанного шара; r — радиус цилиндра; H — высота цилиндра; R = r, 2R = H.
Шар можно вписать в любой конус. Шар касается основания конуса в его центре и боковой поверхности конуса по окружности, лежащей в плоскости, параллельной основанию конуса. Центр вписанного шара лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса. R — радиус вписанного шара; r — радиус конуса; H — высота конуса;
Шар называется описанным около цилиндра, если основания цилиндра являются параллельными сечениями шара.
Шар называется описанным около конуса, если основание конуса является сечением шара, а вершина конуса лежит на поверхности шара (сферы). Такие цилиндр и конус называются вписанными в шар (сферу).
Шар можно описать около любого (прямого, кругового) цилиндра. Окружности оснований цилиндра лежат на поверхности шара. Центр описанного шара лежит на середине высоты цилиндра, проходящей через ось цилиндра. ABCD — осевое сечение цилиндра; R — радиус описанного шара; r — радиус цилиндра; H — высота цилиндра; R² = + r².
Шар можно описать около любого конуса. Окружность основания конуса и вершина конуса лежат на поверхности шара. Центр описанного шара лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, описанной около треугольника, являющегося осевым сечением конуса. ΔMAB — осевое сечение конуса; R — радиус описанного шара; r — радиус конуса; H — высота конуса; R² = (H − R)² + r².

Дивіться також: