§ 5. Окружность и её свойства. Геометрические построения

Окружность, хорды и дуги
Окружность — фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). O — центр окружности. OA — радиус. AB — диаметр. CD — хорда (отрезок, соединяющий две точки окружности). Наибольшая хорда — диаметр.
Свойства
Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.	AB ⊥ CD
Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.	CM = MD
Окружность, описанная около треугольника
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам этого треугольника, проведенных через середины этих сторон.
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Свойства высот треугольника
Прямые, содержащие в себе высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Центр окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, принадлежит прямой, которая содержит медиану, высоту и биссектрису, проведенные из вершины к основанию.
Касательная к окружности
Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. Касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.	Прямая a — касательная, AO — радиус
Расстояние между центрами O1 и O2 двух касающихся окружностей в случае внешнего касания равно: O1O2 = R + r, где R и r — радиусы окружностей. В случае внутреннего касания: O1O2 = R − r (R > r)	O1O2 = R + r O1O2 = R − r
В окружности равные хорды одинаково удалены от центра окружности, и наоборот, хорды, одинаково удаленные от центра окружности, равны.	OM = ON
Окружность и прямая не могут пересекаться больше чем в двух точках.
Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры этих окружностей.	CD ⊥ O1O2
Если две окружности имеют только одну общую точку, то она принадлежит прямой, проходящей через центры этих окружностей.	A ∈ O1O2
Если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются друг друга в этой точке.
Если из одной точки к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных равны.	AB = AC
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, принадлежит медиане, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины к основанию.	O ∈ CD
Центры окружностей, описанной вокруг равностороннего треугольника и вписанной в него, совпадают. Это точка пересечения медиан, биссектрис и высот равностороннего треугольника.
Геометрическое место точек
Геометрическим местом точек (ГМТ) плоскости называется фигура, образованная из всех точек плоскости, которые обладают определенными свойствами: 1) если точка принадлежит фигуре, то она обладает данным свойством; 2) если точка обладает данным свойством, то она принадлежит фигуре.
Геометрическим местом точек, равноудаленных от данной точки, является окружность с центром в этой точке и с радиусом, равным данному расстоянию.
Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, который соединяет эти точки.	DA = DB; D ∈ a
Геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных данной и уда-ленных от нее на расстояние h.
Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, является прямая, параллельная данным прямым и одинаково удаленная от них.
Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, состоит из двух прямых, которые содержат биссектрисы углов, полученных в результате пересечения данных прямых.	a ∩ b m, n содержат биссектриссы

Дивіться також: