§ 1. Подобие фигур

Преобразование подобия
	Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. XY = k × XY, k — коэффициент подобия. Пусть F — данная фигура и O — фиксированная точка. Через произвольную точку X фигуры F проведем луч OX и отложим на нем отрезок OX', равный k × OX, где k — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка x переходит в точку x', построенную таким способом, называется гомотетией относительно центра O. = k, k — коэффициент подобия.
Свойства преобразования подобия
1. Преобразование подобия переводит прямые — в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки. 2. Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
Подобие треугольников
	Два треугольника называются подобными, если они переводятся друг в друга с помощью преобразования подобия. ΔABC ~ ΔA1B1C1.
Свойства
1. У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки — пропорциональны. ∠A = ∠A1; ∠B = ∠B1; ∠C = ∠C1 = ... = k 2. Отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон и равно коэффициенту подобия. = l 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. = k²

Признаки подобия треугольников
	1. Если ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, то ΔABC ~ ΔA1B1C1 — пo двум равным углам. 2. Если ∠A = ∠A1, то ΔABC ~ ΔA1B1C1 — по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. 3. Если то ΔABC ~ ΔA1B1C1 — по трем пропорциональным сторонам.
	Если PQ || AC, то ΔPBQ ~ ΔABC. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный данному. Если BB1 || CC1 || DD1, то AB ÷ BC ÷ CD = AB1 ÷ B1C1 ÷ C1D1. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. В частности, если AB = BC = CD, то AB1 = B1C1 = C1D1 — теорема Фалеса.
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Подобие прямоугольных треугольников
1. Для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.
2. В ΔABC ∠C = 90°, CD ⊥ AB, тогда ΔABC ~ ΔCBD (по острому углу при вершине B). Из подобия следует: или BC = Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.	AC² = AD × AB; BC² = BD × AB
3. ΔACD ~ ΔCBD (у них равные углы при вершинах A и C). Из подобия следует: или CD = Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.	CD² = AD × DB
4. CD — биссектриса угла C. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам: или

Углы, вписанные в окружность
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность.
Углы в окружности
∠AOB — центральный угол ∠AOB = ∪AB Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.	∠ABC — вписанный угол ∠ABC = ∪ AC = ∠AOC Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, и равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
∠ABC = ∠ADC = ∠AKC Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны между собой.	∠ABC = ∠ADC = 90° Вписанный угол, который опирается на диаметр, равен 90°.
MA — касательная, MB — секущая. ∠AMB = ∪ MnB	AB и CD — хорды. ∠AMC = (∪AC + ∪DB)
AP × BP = CP × DP