МЕНЮ
Учень! Що для тебе (як для школяра) означає школа?





  • ▲  угору сторінки
  • ◄  на попередню сторінку
головна сторінка > Теорія > Геометрия > 9 класс > § 1

§ 1. Подобие фигур

Преобразование подобия
Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз.

XY = k × XY, k — коэффициент подобия.

Пусть F — данная фигура и O — фиксированная точка. Через произвольную точку X фигуры F проведем луч OX и отложим на нем отрезок OX', равный k × OX, где k — положительное число.

Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка x переходит в точку x', построенную таким способом, называется гомотетией относительно центра O.

= k, k — коэффициент подобия.

Свойства преобразования подобия
1. Преобразование подобия переводит прямые — в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки.

2. Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если они переводятся друг в друга с помощью преобразования подобия.

ΔABC ~ ΔA1B1C1.

Свойства
1. У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки — пропорциональны.

∠A = ∠A1; ∠B = ∠B1; ∠C = ∠C1

= ... = k

2. Отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон и равно коэффициенту подобия.

= l

3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

= k²

Признаки подобия треугольников

1. Если ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, то ΔABC ~ ΔA1B1C1 — пo двум равным углам.

2. Если ∠A = ∠A1, то ΔABC ~ ΔA1B1C1 — по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

3. Если то ΔABC ~ ΔA1B1C1 — по трем пропорциональным сторонам.

Если PQ || AC, то ΔPBQ ~ ΔABC. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный данному.

Если BB1 || CC1 || DD1, то AB ÷ BC ÷ CD = AB1 ÷ B1C1 ÷ C1D1.

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

В частности, если AB = BC = CD, то AB1 = B1C1 = C1D1теорема Фалеса.

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Подобие прямоугольных треугольников
1. Для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

2. В ΔABC ∠C = 90°, CD ⊥ AB, тогда ΔABC ~ ΔCBD (по острому углу при вершине B). Из подобия следует: или BC = Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

AC² = AD × AB; BC² = BD × AB

3. ΔACD ~ ΔCBD (у них равные углы при вершинах A и C). Из подобия следует: или CD = Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

CD² = AD × DB

4. CD — биссектриса угла C. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам: или

Углы, вписанные в окружность
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность.
Углы в окружности

∠AOB — центральный угол
∠AOB = ∪AB
Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.

∠ABC — вписанный угол

∠ABC = ∪ AC = ∠AOC

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, и равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

∠ABC = ∠ADC = ∠AKC
Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны между собой.

∠ABC = ∠ADC = 90°
Вписанный угол, который опирается на диаметр, равен 90°.

MA — касательная, MB — секущая.

∠AMB = ∪ MnB

AB и CD — хорды.

∠AMC = (∪AC + ∪DB)

AP × BP = CP × DP

Якщо Ви помітили помилку, виділіть необхідний текст та натисніть Ctrl+Enter

© 2008-2022. Офіційний сайт Бердянської ЗОШ І-ІІІ ступенів № 2 Запорізької області

 
[
]