§ 1.4. Тригонометрические функции, их графики и свойства

Свойства \ Функция	y = sinx	y = cosx
График	кривая — синусоида	кривая — косинусоида
Область определения	D (sinx) = R	D (cosx) = R
Множество значений	E (sinx) = [−1;1]; |sinx| < 1.	E (cosx) = [−1;1]; |cosx| < 1.
Четность или нечетность функции	нечетная: sin(−x) = −sinx симметрия графика относительно начала координат.	четная: cos(−x) = cosx симметрия графика относительно оси 0y.
Периодичность	Т = 2; sin(x + 2) = sinx.	Т = 2; cos(x + 2) = cosx.
Точки пересечения с осями координат: а) с осью 0x: б) с осью 0y:	a) sinx = 0, х = k, k ∈ Z, б) ƒ(0) = sin0 = 0 точка (0;0).	a) cosx = 0, x = + k, k ∈ Z, б) ƒ(0) = cos0 = 1 точка (0;1).
Промежутки знакопостоянства	sinx > 0 при х ∈ (2k; + 2k); sinx < 0 при х ∈ ( + 2k; 2 + 2k), k ∈ Z.	cosx > 0 при x ∈ (− + 2k; + 2k); cosx < 0 при x ∈ ( + 2k; + 2k), k ∈ Z.
Промежутки монотонности: а) функция возрастает на каждом из промежутков;	[− + 2k; + 2k], k ∈ Z.	[− + 2k; 2k], k ∈ Z.
б) функция убывает на каждом из промежутков.	[ + 2k; + 2k], k ∈ Z.	[2k; + 2k], k ∈ Z.
Экстремумы	xmax = + 2k, k ∈ Z, ymax = 1.	xmax = 2k, k ∈ Z, ymax = 1.
	xmin = − + 2k, k ∈ Z, ymin = −1.	xmin = + 2k, k ∈ Z, ymin = −1.
Асимптоты графика	не имеет	не имеет
Свойства \ Функция	y = tgx	y = ctgx
График	кривая — тангенсоида	кривая — котангенсоида
Область определения	x ≠ + k, k ∈ Z.	x ≠ k, k ∈ Z.
Множество значений	E (tgx) = R.	E (ctgx) = R.
Четность или нечетность функции	нечетная: tg(−x) = −tgx симметрия графика относительно начала координат.	нечетная: ctg(−x) = −ctgx симметрия графика относительно начала координат.
Периодичность	T = ; tg (x + ) = tgx.	T = ; ctg (x + ) = ctgx.
Точки пересечения с осями координат: а) с осью 0x; б) с осью 0y.	a) tgx = 0:х = k, k ∈ Z (k; 0), б) ƒ(0) = tg0 = 0 точка (0;0).	a) ctgx = 0:x = + k, k ∈ Z ( + k; 0); б) пересечения с 0y нет.
Промежутки знакопостоянства	tgx > 0 при x ∈ (k; + k). tgx < 0 при x ∈ (− + k; k), k ∈ Z.	ctgx > 0 при x ∈ (k; + k), ctgx < 0 при x ∈ ( + k; + k), k ∈ Z.
Промежутки монотонности: а) функция возрастает на каждом из промежутков;	(− + k; + k), k ∈ Z.	—
б) функция убывает на каждом из промежутков.	—	(k; + k), k ∈ Z.
Экстремумы	максимума и минимума не имеет.	максимума и минимума не имеет.
Асимптоты графика	вертикальные асимптоты х = − + k, k ∈ Z.	вертикальные асимптоты x = k, k ∈ Z.

Построение графиков тригонометрических функций
1. Для построения графика функции y = ƒ(x) + a нужно график функции y = ƒ(x) сдвинуть вдоль оси 0y на a единиц вверх, если a > 0, и на a единиц вниз, если a < 0.	y = sinx − 1 y = sinx сдвигают вдоль оси 0y на единицу вниз.
2. Для построения графика функции y = ƒ(x + a) необходимо график функции y = ƒ(x) сдвинуть вдоль оси 0x на a единиц вправо при a < 0 и на a единиц влево при a > 0.	y = sin (x − ) y = sinx сдвигают вдоль оси 0x на единиц вправо.
3. Для построения графика y = −ƒ(x) необходимо график функции y = ƒ(x) отобразить симметрично относительно оси 0x.	y = −sinx
4. Для построения графика y = ƒ(−x) необходимо график функции y = ƒ(x) отобразить симметрично оси 0y.	y = sin(−x)
5. Для построения графика y = |ƒ(x)| необходимо положительную часть графика y = ƒ(x) оставить неизменной, а отрицательную часть отобразить симметрично относительно оси 0x.	y = |sinx|
6. Для построения графика функции y = ƒ(|x|) можно рассмотреть соотношение: ƒ(|x|) = Отсюда следует, что при x ≥ 0 необходимо строить график функции y = ƒ(x), а для x < 0 надо построить график, который будет симметричен для уже построенного графика относительно оси 0y.	y = sin|x|
7. Для построения графика y = kƒ(x) необходимо ординаты всех точек графика y = ƒ(x) умножить на k, оставив при этом неизменными абсциссы. Причем при k > 1 график y = kƒ(x) получают из графика y = ƒ(x) растяжением его от оси 0x в k раз, а при 0 < k < 1 — с помощью сжатия к оси 0x в раз. Эти деформации графика y = ƒ(x) выполняют в перпендикулярных направлениях к оси 0x.	y = 2sinx
8. Для построения графика y = ƒ(kx), k > 0 необходимо все абсциссы графика y = ƒ(x) разделить на k, оставив ординаты неизменными. То есть при k > 0 график y = ƒ(kx) получают из графика y = ƒ(x), сжимая его к оси 0y в k раз, а при 0 < k < 1 растягивают график y = ƒ(x) от оси 0y в раз. Эти деформации графика y = ƒ(x) выполняют в направлениях, перпендикулярных к оси 0y.	y = sin2x

Дивіться також: