МЕНЮ
Учень! Що для тебе (як для школяра) означає школа?





  • ▲  угору сторінки
  • ◄  на попередню сторінку
головна сторінка > Теорія > Алгебра > 10 класс > Тригонометрические функции и их свойства > § 1.4

§ 1.4. Тригонометрические функции, их графики и свойства

Свойства \ Функцияy = sinxy = cosx
График

кривая — синусоида

кривая — косинусоида

Область определенияD (sinx) = RD (cosx) = R
Множество значенийE (sinx) = [−1;1]; |sinx| < 1.E (cosx) = [−1;1]; |cosx| < 1.
Четность или нечетность функциинечетная: sin(−x) = −sinx
симметрия графика относительно начала координат.
четная: cos(−x) = cosx
симметрия графика относительно оси 0y.
ПериодичностьТ = 2; sin(x + 2) = sinx.Т = 2; cos(x + 2) = cosx.
Точки пересечения с осями координат:
а) с осью 0x:
б) с осью 0y:
a) sinx = 0, х = k, k ∈ Z,
б) ƒ(0) = sin0 = 0 точка (0;0).

a) cosx = 0, x = + k, k ∈ Z,
б) ƒ(0) = cos0 = 1 точка (0;1).

Промежутки знакопостоянстваsinx > 0 при х ∈ (2k; + 2k);
sinx < 0 при х ∈ ( + 2k; 2 + 2k), k ∈ Z.

cosx > 0 при x ∈ (− + 2k; + 2k);
cosx < 0 при x ∈ ( + 2k; + 2k), k ∈ Z.

Промежутки монотонности:
а) функция возрастает на каждом из промежутков;

[− + 2k; + 2k], k ∈ Z.

[− + 2k; 2k], k ∈ Z.
б) функция убывает на каждом из промежутков.[ + 2k; + 2k], k ∈ Z.[2k; + 2k], k ∈ Z.
Экстремумы

xmax = + 2k, k ∈ Z,
ymax = 1.

xmax = 2k, k ∈ Z,
ymax = 1.

xmin = − + 2k, k ∈ Z,
ymin = −1.

xmin = + 2k, k ∈ Z,
ymin = −1.
Асимптоты графикане имеетне имеет
Свойства \ Функцияy = tgxy = ctgx
График

кривая — тангенсоида

кривая — котангенсоида

Область определения

x ≠ + k, k ∈ Z.

x ≠ k, k ∈ Z.
Множество значенийE (tgx) = R.E (ctgx) = R.
Четность или нечетность функциинечетная: tg(−x) = −tgx
симметрия графика относительно начала координат.
нечетная: ctg(−x) = −ctgx
симметрия графика относительно начала координат.
ПериодичностьT = ; tg (x + ) = tgx.T = ; ctg (x + ) = ctgx.
Точки пересечения с осями координат:
а) с осью 0x;
б) с осью 0y.
a) tgx = 0:х = k, k ∈ Z (k; 0),

б) ƒ(0) = tg0 = 0 точка (0;0).

a) ctgx = 0:x = + k, k ∈ Z ( + k; 0);

б) пересечения с 0y нет.

Промежутки знакопостоянстваtgx > 0 при x ∈ (k; + k).

tgx < 0 при x ∈ (− + k; k), k ∈ Z.

ctgx > 0 при x ∈ (k; + k),

ctgx < 0 при x ∈ ( + k; + k), k ∈ Z.

Промежутки монотонности:
а) функция возрастает на каждом из промежутков;

(− + k; + k), k ∈ Z.

б) функция убывает на каждом из промежутков.(k; + k), k ∈ Z.
Экстремумымаксимума и минимума не имеет.максимума и минимума не имеет.
Асимптоты графикавертикальные асимптоты

х = − + k, k ∈ Z.

вертикальные асимптоты

x = k, k ∈ Z.

Построение графиков тригонометрических функций
1. Для построения графика функции y = ƒ(x) + a нужно график функции y = ƒ(x) сдвинуть вдоль оси 0y на a единиц вверх, если a > 0, и на a единиц вниз, если a < 0. y = sinx − 1
y = sinx сдвигают вдоль оси 0y на единицу вниз.

2. Для построения графика функции y = ƒ(x + a) необходимо график функции y = ƒ(x) сдвинуть вдоль оси 0x на a единиц вправо при a < 0 и на a единиц влево при a > 0.

y = sin (x − )
y = sinx сдвигают вдоль оси 0x на единиц вправо.

3. Для построения графика y = −ƒ(x) необходимо график функции y = ƒ(x) отобразить симметрично относительно оси 0x. y = −sinx

4. Для построения графика y = ƒ(−x) необходимо график функции y = ƒ(x) отобразить симметрично оси 0y. y = sin(−x)

5. Для построения графика y = |ƒ(x)| необходимо положительную часть графика y = ƒ(x) оставить неизменной, а отрицательную часть отобразить симметрично относительно оси 0x. y = |sinx|

6. Для построения графика функции y = ƒ(|x|) можно рассмотреть соотношение:

ƒ(|x|) =

Отсюда следует, что при x ≥ 0 необходимо строить график функции y = ƒ(x), а для x < 0 надо построить график, который будет симметричен для уже построенного графика относительно оси 0y.

y = sin|x|

7. Для построения графика y = kƒ(x) необходимо ординаты всех точек графика y = ƒ(x) умножить на k, оставив при этом неизменными абсциссы. Причем при k > 1 график y = kƒ(x) получают из графика y = ƒ(x) растяжением его от оси 0x в k раз, а при 0 < k < 1 — с помощью сжатия к оси 0x в раз. Эти деформации графика y = ƒ(x) выполняют в перпендикулярных направлениях к оси 0x.

y = 2sinx

8. Для построения графика y = ƒ(kx), k > 0 необходимо все абсциссы графика y = ƒ(x) разделить на k, оставив ординаты неизменными. То есть при k > 0 график y = ƒ(kx) получают из графика y = ƒ(x), сжимая его к оси 0y в k раз, а при 0 < k < 1 растягивают график y = ƒ(x) от оси 0y в раз. Эти деформации графика y = ƒ(x) выполняют в направлениях, перпендикулярных к оси 0y. y = sin2x

Дивіться також:

  • Связь между радианной и градусной мерами угла
  • Тригонометрические неравенства
  • Иррациональные уравнения
  • Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства
  • Степенная функция
  • Показательная функция
  • Якщо Ви помітили помилку, виділіть необхідний текст та натисніть Ctrl+Enter

    © 2008-2024. Офіційний сайт Бердянської ЗОШ І-ІІІ ступенів № 2 Запорізької області

     
    [
    ]