§ 3. Тригонометрические неравенства

Простейшие тригонометрические неравенства — это неравенства вида: sinx a, cosx a, tgx a, ctgx a.
Для решения простейших тригонометрических неравенств можно пользоваться графиками соответствующих тригонометрических функций.
Для решения тригонометрических неравенств очень удобно пользоваться единичной окружностью, на которой множество решений изображается в виде одной или нескольких дуг окружности.
Напомним: ось синусов совпадает с осью 0y, ось косинусов — с осью 0x, ось тангенсов — это прямая х = 1, а ось котангенсов — это прямая y = 1.
Решениями неравенств вида sinx > а, cosx > а является множество всех действительных чисел, если a ≤ −1. Решениями неравенств вида sinx < а, cosx < а является множество всех действительных чисел, если а ≥ 1.
Решение простейших тригонометрических неравенств вида tgx a, ctgx а
1. Функция y = tgx определена при x ≠ + n, n ∈ Z. Функция y = ctgx определена при x ≠ n, n ∈ Z. Период этих функций равен .
2. Так как областью значений функций y = tgx и ctgx является множество всех действительных чисел, то неравенства tgx a и ctgx а всегда имеют решения.
Решение простейших тригонометрических неравенств вида cosx а, sinx a
При решении неравенств вида cosx а, sinx a c помощью тригонометрической окружности необходимо помнить:
1. Записывая промежуток, который является решением неравенства, следят, чтобы слева было меньшее число, а справа — большее, что соответствует на окружности движению против часовой стрелки.
2. Ответ записывают с учетом периода.
Тригонометрические неравенства, приводимые к квадратным
Если тригонометрическое неравенство в результате тождественных преобразований приводится к виду: asin²t + bsint + c > 0 (acos²t + bcost + c > 0) или asin²t + bsint + c < 0 (acos²t + bcost + c < 0), то вводят подстановку: y = sint (y = cost), причем |y| ≤ 1. Получают неравенство вида: ay² + by + c > 0 или ay² + by + c < 0. Решив алгебраическое неравенство, возвращаются к подстановке. Решают простейшее тригонометрическое неравенство, полученное в результате подстановки.

Дивіться також: