§ 4.1. Иррациональные уравнения и неравенства

Определения	Примеры
Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-ая степень которого равна числу а (число n — натуральное число). — корень; n — показатель; a — подкоренное выражение.	= 2, 25 = 32; = 3, 36 = 729; = −5, (−5)³ = −125; = −4, (−4)5 = −768.
Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.	= 3 — арифметический корень; = −3 — неарифметический корень; √25 = 5; √9 = 3 — арифметические корни.
Показатели корней вида n = 2k + 1 используют для обозначения любых корней. Показатели корней вида n = 2k используют для обозначения арифметических корней. Показателем корня может быть любое натуральное число, но показатель корня n = 1 не рассматривается.
Свойства корней
1. Корень четной степени из отрицательного числа не определен. = b, если a ≥ 0. √−9 — не существует.	2. Корень нечетной степени определен из любого числа. = b, a ∈ R = −2; = 7.
3. = 0.	4. = 1.

Действия с корнями n-ой степени
1. Произведение корней n-ой степени.
2. Частное корней n-ой степени.
3. Степень корня.
a ≥ 0; k — целое; n — натуральное.	= 25 × 0,25 = 8.	a ≥ 0; k — целое; n — натуральное.
4. Корень из корня.
a ≥ 0, m, n, — натуральные.
5. Приведение корня к новому показателю.
a ≥ 0, m, n, p, — натуральные.		a ≥ 0, m, n, p, — натуральные.
6. Внесение множителя под корень.
a ≥ 0; b ≥ 0.
7. Извлечение корня четной степени.
a ≥ 0; n — натуральное.
8. Извлечение корня нечетной степени.
a ≥ 0; n — натуральное. a ≥ 0; n — натуральное.
9. Формула сложного радикала.
a > 0; b > 0; a² − b > 0. a > 0; b > 0; a² − b > 0.

Формулы сокращенного умножения относительно корней
1. Разность квадратов.
	Сократить дробь: Ответ: √x − √y.
2. Сумма кубов.
а) б)	Ответ:
3. Разность кубов.
а) б)	Ответ: x + √xy + y.
4. Выделение полного квадрата под знаком корня.
если a + 2b = x + y + 2√xy то есть x + y = a и xy = b, тогда a + 2√b = (√x + √y)².	Ответ: 1 + √3.

Определение степени с рациональным показателем
1. Произведение одинаковых множителей называют возведением в степень. a — основание степени; n — показатель степени.	(−0,2)³ = −0,08. 0n = 0. 1n = 1.
2. a1 = a.	(−11)1 = −11; (1,7)1 = 1,7.
3. a0 = 1, a ≠ 0; 00 — не определено.	(13,01)0 = 1; (a5 b13 x)0 = 1.
4. a−n = a ≠ 0.	3−2 = 5−1 =
5.

Свойства степеней
1. am × an = am+n	am+n = am × an
2. = am−n	am−n =
3. (am)n = amn	amn = (am)n = (an)m
4. (ab)n = an × bn	an × bn = (ab)n
5. = b ≠ 0	= b ≠ 0
6.
7. = b ≠ 0, a ≠ 0	= b ≠ 0, a ≠ 0

Дивіться також: