§ 4.4. Степенная функция

Функция вида y = xα, где x — независимая переменная (аргумент), а α — любое действительное число, называется степенной функцией.
Свойства функции y = xα (α = n — натуральный показатель)
y = x2k (k ∈ N).	y = x2k+1 (k ∈ N).
1. Область определения.
Функция y = xn определена при всех действительных значениях х (х ∈ R).
2. Область значения.
y ≥ 0 (y — неотрицательное число).	y ∈ R (y — любое действительное число).
3. Нули функции.
При х = 0 y = 0, то есть график функции проходит через начало координат.
4. Интервалы знакопостоянства.
Функция положительная при x ≠ 0.	При х > 0 функция положительная (y > 0). При x < 0 функция отрицательная (y < 0).
5. Четность и нечетность.
Функция четная, график ее симметричен относительно оси 0y.	Функция нечётная, график ее симметричен относительно начала координат.
6. Интервалы возрастания и убывания функции.
При x < 0 функция убывает. При x > 0 функция возрастает.	Функция возрастает при x ∈ R.
7. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Наименьшее значение y = 0 при х = 0; наибольшего значения не имеет.	Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Графики степенной функции (y = xα)
α — четное натуральное число	y = x²	y = x4	y = x2k, k ∈ N
α — нечетное натуральное число	y = x1	y = x³	y = x2k+1, k ∈ N
α — нечетное отрицательное число	y = x−1 =	y = x−3 =	y = x−(2k−1) = k ∈ N
α — четное отрицательное число	y = x−2 =	y = x−4 =	y = x−2k = k ∈ N
α — целое положительное число			y = xα (α > 0, α — нецелое)
α — нецелое отрицательнео число			y = xα (α < 0, α — нецелое)

Дивіться також: