§ 1.4. Производная функции

y = ƒ(x)	Производной функции y = ƒ(x) в точке x называется предел отношения приращения функции в точке x к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (можно обозначить y' или ƒ'(x)). Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Касательная к графику функции и геометрический смысл производной
	Касательной к кривой в данной точке M называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится вдоль кривой к точке M.

ƒ'(x0) = tgφ k — угловой коэффициент касательной. k = tgφ = ƒ'(x0). y = ƒ(x0) + ƒ'(x0)(x − x0) — уравнение касательной к графику функции y = ƒ(x) в точке с абсциссой x0.

Значение производной в точке x0 равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой x0 (и равно угловому коэффициенту касательной).

Механический смысл производной
Производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента; в частности: производная времени является мерой скорости изменений, используемой по отношению к различным физическим величинам. Например, мгновенная скорость v неравномерного прямолинейного движения является производной от функции, выражающей зависимость пройденного пути S от времени t.
S = S(t) — зависимость пройденного пути от времени;	v = S'(t) — скорость прямолинейного движения;	a = v'(t) — ускорение прямолинейного движения.

Таблица производных некоторых функций
Элементарные функции	Сложные функции
c' = 0 (c — const)	—
(kx + b)' = k x' = 1 (−x)' = −1	—
(xα)' = αxα−1 α ∈ R	(uα)' = α × uα−1 × u'
(x²)' = 2x	u² = 2u × u'
(sinx)' = cosx	(sinu)' = cosu × u'
(cosx)' = −sinx	(cosu)' = −sinu × u'
(tgx)' =	(tgu)' =
(ctgx)' =	(ctgu)' =
(arcsinx)' =	(arcsinu)' =
(arccosx)' =	(arccosu)' =
(arctgx)' =	(arctgu)' =
(arcctgx)' =	(arcctgu)' =

Правила дифференцирования
1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной (c × u(x))' = cu'(x) (c — постоянная).
2. Производная суммы (u + v)' = u' + v'. Производная суммы функций, которые дифференцируются, равна сумме их производных.
3. Производная произведения (u × v)' = u'v + v'u
4. Производная частного
5. Производная сложной функции (функции от функции) (u(v(x)))' = u'(v(x)) × v'(x)

Дивіться також: