§ 2. Использование производной

ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ

Функция y = ƒ(x) возрастает на промежутке (a,b)	⇔	x1 < x2 ⇒ ƒ(x1) < ƒ(x2) для всех x1, x2 ∈ (a,b)
Функция y = ƒ(x) убывает на промежутке (a,b)	⇔	x1 < x2 ⇒ ƒ(x1) > ƒ(x2) для всех x1, x2 ∈ (a,b)

Достаточный признак возрастания, убывания функции
Если	ƒ'(x) > 0 для всех x ∈ (a,b),		функция y = ƒ(x) возрастает на промежутке (a,b).
Если	ƒ'(x) < 0 для всех x ∈ (a,b),		функция y = ƒ(x) убывает на промежутке (a,b).
Если функция непрерывна в конце промежутка, то его можно присоединить к промежутку возрастания (убывания) функции.

Достаточное и необходимое условие постоянства функции
Если	ƒ'(x) = 0 для всех x ∈ (a,b),		функция y = ƒ(x) постоянная на промежутке (a,b).

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ

y = ƒ(x) — непрерывная функция. x0 — внутренняя точка ее области определения.
Если	ƒ'(x0) = 0 или ƒ'(x0) не существует		x0 — критическая точка.

ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА

x0 — точка максимума	⇔	Вблизи точки x0 ƒ(x0) — наибольшее значение
x0 — точка минимума	⇔	Вблизи точки x0 ƒ(x0) — наименьшее значение

Необходимый признак экстремума
Если	x0 — точка экстремума		ƒ'(x0) = 0 или ƒ'(x0) не существует

Точки экстремума нужно искать только среди критических точек, но не каждая точка, в которой ƒ'(x0) = 0 или не существует, является точкой экстремума. ƒ'(x0) = 0, но x0 не является точкой экстремума. ƒ'(x0) не существует, но x0 не является точкой экстремума.

Достаточный признак экстремума
Первый признак Если x0 — критическая точка, ƒ'(x0) = 0 или ƒ'(x0) — не существует.
Если при переходе через x0 производная ƒ'(x) изменяет знак с «+» на «−»,		x0 — точка максимума.
Если при переходе через x0 производная ƒ'(x) изменяет знак с «−» на «+»,		x0 — точка минимума.
Второй признак
ƒ'(x0) = 0 ƒ"(x0) < 0		x0 — точка максимума.
ƒ'(x0) = 0 ƒ"(x0) > 0		x0 — точка минимума.

НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНОЙ НА ОТРЕЗКЕ

Свойство
Если функция ƒ(x) непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она принимает свои наибольшие и наименьшие значения на этом отрезке или в критических точках, которые принадлежат этому отрезку, или на концах отрезка.
Примеры
Если функция y = ƒ(x) на промежутке x имеет только одну точку экстремума x = a и если это точка максимума, то ƒ(a) — наибольшее значение функции на данном промежутке. Если x = a — точка минимума, тогда ƒ(a) — наименьшее значение функции на этом промежутке.

ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ КРИВОЙ

Кривая, выпуклая на (a,b).	⇔	Кривая размещена ниже любой своей касательной
Кривая, вогнутая на (a,b).	⇔	Кривая размещена выше любой своей касательной

Достаточные признаки выпуклости и вогнутости
ƒ"(x) > 0 на (a,b).	⇒	Кривая вогнутая на (a,b).		ƒ"(x) < 0 на (a,b).	⇒	Кривая выпуклая на (a,b).

Для построения графика целесообразно проанализировать, какой вид имеет график функции на интервале (a,b) в зависимости от знаков первой и второй производных. Результат удобно свести в таблицу:
y' > 0 y" < 0	y' > 0 y" > 0	y' < 0 y" < 0	y' < 0 y" > 0
возрастает, выпуклая.	возрастает, вогнутая.	убывает, выпуклая.	убывает, вогнутая.

ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Точка перегиба (x0;ƒ(x0)).

⇔

В точке (x0;ƒ(x0)) существует касательная, при переходе через эту точку выпуклость меняется на вогнутость (или наоборот).

⇒

Достаточный признак точки перегиба
В точке (x0;ƒ(x0)) существует касательная, y"(x0) = 0 (или не существует) и при переходе через точку x0y" изменяет знак.	⇒	(x0;ƒ(x0)) — точка перегиба.

Для построения точки перегиба необходимо установить связь между существованием производной в точке x0 и существованием касательной к графику функции в точке (x0;ƒ(x0)).
Производная существует		Производная не существует
Касательная горизонтальная.	Касательная наклонная.	Касательная вертикальная.	Касательная не существует.

Разные типы точек перегиба
y'(x0) = 0	y'(x0) > 0	y'(x0) < 0	y'(x0) = ∞

ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ И ИХ ХАРАКТЕР

Для элементарных функций точка разрыва — это такая точка, в которой функция не определена, но определена вблизи этой точки.
Виды точек разрыва
x0 — точка разрыва, который устраняется.	x0 — точка конечного разрыва.	x0 — точка бесконечного разрыва.
ƒ(x0) — не существует; = = = A.	= A; = B; A ≠ B.	= +∞ = A.	= +∞ = −∞.

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Прямая l называется асимптотой графика функции y = ƒ(x), если расстояние от точки M графика до прямой стремится к нулю при удалении точки M по кривой в бесконечность.

d → 0 M → ∞

Виды асимптот
Вертикальная x = x0	Горизонтальная y = y0	Наклонная y = kx + b (k ≠ 0)
= ∞	= y0.	k = b =
Если ƒ(x) можно представить в виде ƒ(x) = kx + b + α(x), где α(x) → 0, когда x → ∞, то прямая y = kx + b является асимптотой: при k = 0 — горизонтальной, а при k ≠ 0 — наклонной. График функции может иметь вертикальные асимптоты в точках разрыва (бесконечного) или на границах области определения функции.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Прежде чем приступить к решению заданий, отметим, что при построении графика не обязательно анализировать все элементы поведения функции. Построение графиков функций целесообразно начинать с исследования поведения непрерывной функции, используя первую производную. Отметим, что областью изменения многочлена нечетной степени является множество всех действительных чисел. Для многочленов четной степени и других рассматриваемых функций E(ƒ), как правило, определяется после проведения исследования. Поэтому сначала не следует уделять особое внимание нахождению E(ƒ). E(ƒ) — множество значений функции.
Алгоритм построения графика функции
1. Найти область определения функции, точки пересечения с осями координат. 2. Исследовать функцию на четность или нечетность и на периодичность. 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума. 4. Построить график функции.

Дивіться також: