§ 3.2. Интегралы

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Совокупность всех первообразных функции ƒ(x) на промежутке называется неопределенным интегралом от функции ƒ на этом промежутке. Обозначается: ∫ƒ(x)dx, читается: интеграл эф от икс по дэ икс. ∫ — знак интеграла, ƒ(x) — подинтегральная функция, ƒ(x)dx — подинтегральное выражение, x — переменная интегрирования.
Если F(x) — одна из первообразных для ƒ, пишут: ∫ƒ(x)dx = F(x) + c.
∫kƒ(x)dx = k∫ƒ(x)dx, k = const; постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.	∫(ƒ(x) ± g(x))dx = ∫ƒ(x) ± ∫g(x)dx; интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции.

Таблица неопределенных интегралов
1. ∫0dx = c, c — постоянная.
2. ∫kdx = kx + c.
3. ∫xαdx = + c; α ≠ 1.
4. + c.
5. + c.
6. ∫sinxdx = −cosx + c.
7. ∫cosxdx = sinx + c.
8. = tgx + c.
9. = −ctgx + c.
10. ∫sin(kx + b)dx = −cos(kx + b) + c.
11. ∫cos(kx + b)dx = sin(kx + b) + c.
12. ∫(kx + b)αdx = + c, α ≠ −1.
13. = arctgx + c.
14. = arcsinx + c.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ƒ(x) — непрерывная на промежутке I; F(x) — первообразная для ƒ на промежутке I; F(b) − F(a) — приращение первообразной. Число F(b) − F(a) называется определенным интегралом от a до b от функции ƒ(x), a ∈ I, b ∈ I. а) ƒ(x)dx; читается: интеграл от a до b эф от икс дэ икс; б) F(b) − F(a) = F(x)

Формула Ньютона-Лейбница
ƒ(x)dx = F(x) ƒ(x) — подинтегральная функция; ƒ(x)dx — подинтегральное выражение; a — нижний предел интегрирования; b — верхний предел интегрирования; x — переменная интегрирования.
Чтобы вычислить определенный интеграл ƒ(x)dx, нужно найти одну из первообразных для функции ƒ(x), в полученное выражение вместо x сначала подставить верхний, а потом нижний предел интегрирования, а потмо от первого результата вычесть второй.
Основные свойства определенных интегралов
1) (ƒ(x) ± g(x))dx = ƒ(x)dx ± g(x)dx;
2) kƒ(x)dx = kƒ(x)dx (k — постоянная);
3) ƒ(x)dx = ƒ(x)dx + ƒ(x)dx (ƒ(x) — интегрирована на [a;b], c ∈ [a;b]);
4) ƒ(x)dx = −ƒ(x)dx;
5) ƒ(x)dx = 0.

Геометрический смысл определенного интеграла
	Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции ƒ на отрезке [a;b], осью 0x (y = 0), прямыми x = a, x = b. SABCD = ƒ(x)dx
Если функция ƒ(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a;b], то интеграл ƒ(x)dx равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком данной функции.

Объемы тел
В общем случае	Для тел вращения
Если тело расположено между двумя перпендикулярными к оси 0x плоскостями, которые проходят через точки x = a и x = b, то V = S(x)dx, где S(x) — площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку x ∈ [a;b] и перпендикулярна оси 0x.	Если тело получено в результате поворота вокруг оси 0x криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции y = ƒ(x) на отрезке [a;b] и прямыми x = a и x = b, то V = ƒ²(x)dx.

Механический смысл интеграла
Если функция v = ƒ(t) определяет мгновенную скорость движения тела в каждый момент времени t на [a;b], то определенный интеграл ƒ(t)dt равен пути, пройденному за отрезок времени t = b − a.

Дивіться також: