§ 7.3. Случайная величина. Ожидание. Дисперсия

Независимые испытания. Схема Бернулли

Пусть при осуществлении n независимых испытаний событие A наступило m раз. Обозначим вероятность наступления события через Pn(m). Тогда Pn(m) = × pm × qn−m — формула Бернулли. m = 0, 1, 2 ... n. Здесь — количество случаев осуществления события A, = p = P(A), q = P(A) = 1 − p.

Случайная величина. Закон ее распределения

Случайной величиной называется функция, заданная на множестве результатов данного эксперимента или в пространстве элементарных событий. Например, количество аварий автотранспорта в течение суток в любом городе зависит от случая. Совокупность результатов опыта называется пространством элементарных событий эксперимента. Законом распределения случайной величины X называется функция, которая каждому значению x случайной величины X ставит в соответствие вероятность P (X = x). В общем случае закон распределения случайной величины записывается так, как показано в таблице 2. Таблица 2 xk x1 x2 ... xn pk p1 p2 ... pn Здесь x1, x2, ... xn — все различные значения случайной величины X, а pk = P (X = xk), k = 1, 2, ... n — вероятности, с которыми X принимает эти значения. События {X = x1}, ... {X = xn} попарно несовместимы, их сумма является достоверным событием. Поэтому сумма вероятностей этих событий p1 + p2 + ... + pn = 1. Данное равенство можно использовать для проверки закона распределения случайной величины.

Математическое ожидание

Пусть случайная величина имеет закон распределения, обозначенный в таблице 2. Сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности называется математическим ожиданием (или средним значением) случайной величины X и обозначается символом MX: MX = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn = xkpk.
Свойства
1. Для произвольной случайной величины X и произвольного числа c имеет место равенство: M(cX) = cMX.
2. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: Mc = c.
3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин: M (X + Y) = MX + MY. Аналогично M (X − Y) = MX − MY.
4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M (X × Y) = MX × MY.

Дисперсия случайной величины

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: DX = M (X − MX)². Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии: σ(X) = √DX.
Свойства дисперсии случайной величины
1. DX = MX² − (MX)².
2. Если c — постоянная, то D (X + c) = DX; D(cX) = c²DX; Dc = 0.
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D (X + Y) = DX + DY.
Выборочной дисперсией называется выражение S² = (xi − x)² , где x1, x2, ... xm — наблюдаемые различные значения случайной величины; n1, ... nm — их частоты; n = n1 + n2 + ... + nm — общее количество наблюдений; x — выборочное среднее. Выборочным средним называется величина x = x1 + x2 + ... + xm   или x = xknk. Выборочная дисперсия является средним всех квадратов отклонений результатов наблюдений от их среднего значения x. Величина S, которая равна корню квадратному из выборочной дисперсии, называется выборочным средним квадратичным или стандартным отклонением. Случайные величины называются независимыми, если для любых x и y выполняется равенство: P ((X = x) × (Y = y)) = P (X = x) × P (Y = y). Случайные величины X1, X2, ... Xn называются независимыми в совокупности, если события (X1 = x1), ... (Xn = xn) независимы в совокупности для любых x1, ... xn.

Закон больших чисел

Если случайные величины X1, ... Xn независимы и имеют одно и то же математическое ожидание и одну и ту же дисперсию, то их среднее арифметическое при достаточно большом п с вероятностью, как угодно близкой к единице, как угодно мало отклоняется от a. Это простейший частный случай теоремы П. Л. Чебышева.

Следствие (теорема Бернулли)

Пусть k — количество наступления события A в n независимых испытаниях, p — вероятность наступления этого события в каждом испытании. Тогда для любого ε > 0: → 1, когда n → ∞.

Дивіться також: