§ 1. Это уже нужно знать

МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ

Определения	Примеры
N — множество натуральных чисел (употребляемых при счете).	1, 2, 3...28.
Z — множество целых чисел (нуль, натуральные числа и противоположные им отрицательные числа).	−23, 0, 17.
Q — множество рациональных чисел (которые можно представить в виде m/n, где m − целое, n − натуральное число).	−10, 25, 11/3; 2; 7,5; 13

ОСНОВНЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

Действия	Свойства
	Переместительное	Сочетательное	Распределительное
Сложение: а + b = c (a, b − слагаемые; c − сумма).	a + b = b + a.	a + (b + c) = (a + b) + c.	—
Вычитание: а − b = c (а − уменьшаемое, b − вычитаемое, с − разность).	a − b = −(b − a).	а − (b − с) = а − b + с; (a − b) − c = a − b − с.	—
Умножение: а × b = с (а, b − сомножители, с − произведение).	а × b = b × а.	(a × b) × c = a × (b × c)	(a + b) × c = ac + bc; (a − b) × c = ас − bc.
Деление: а : b = с (а − делимое; b − делитель; с − частное).		деление числа на произведение: с:(ab) = (с:а):b = (с:b):а; деление произведения на число: (аb):с = (а:с)b = (b:с)а.	деление суммы (разности) на число:

СВОЙСТВА 0 И 1

a + 0 = a; a − 0 = a; 0 − a = −a; a + (−a) = 0; a − a = 0; (a и −a противоположные числа). a × 1/a = 1; (a и 1/a — обратные).	ab = 0, если a = 0, или b = 0, или a = b = 0; a/b = 0 только при a = 0, b ≠ 0.
! Считают, что 0 делится на любое число, но делить на нуль нельзя!

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

Признаки	Примеры
На 2 — делятся числа, последняя цифра которых 0, 2, 4, 6, 8 - это четные числа, их записывают n = 2k, k — натуральное. Нечетные числа не делятся на 2, их записывают: n = 2k + 1, k — целое неотрицательное.	258:2; так как 8:2; 344:2; так как 4:2;
На 3 — делятся числа, сумма цифр которых делится на 3.	456:3; 4+5+6=15, 15:3.
На 4 — делятся числа, число из двух последних цифр которых делится на 4.	12316:4; (16:4).
На 5 — делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5.	105:5; 30:5.
На 8 — делятся числа, у которых число, выраженное тремя последними цифрами данного числа, делится на 8.	−1256:8; (256:8).
На 9 — делятся числа, сумма цифр в записи которых делится на 9.	351:9; 3+5+1=9, (9:9).
На 11 — делятся числа, суммы цифр на четных и нечетных местах которых дают разность, которая делится на 11.	1727:11 т.к. 7 + 7 = 14; 1 + 2 = 3; 14 − 3 = 11; (11:11).

ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Определения	Примеры
Простые числа делятся сами на себя и на 1, т. е. имеют два делителя.	17, (17:1 и 17:17).
Составные числа имеют более двух делителей.	18 (18:1; 18:2, 18:3, 18:6, 18:9, 18:18). 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
! 1 — не является ни простым, ни составным числом.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

Правила	Примеры
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ
Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (выражение), не равное нулю.
Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий делитель.	7 — общий делитель чисел 21 и 28.
СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, у которой числитель больше.	т.к. 2<11.
Если знаменатели разные, то нужно дроби привести к общему знаменателю и сравнить их как дроби с равными знаменателями.
Из двух дробей с равными числителями та дробь больше, у которой знаменатель меньше.	т.к. 15<17.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
Если знаменатели равны, то числители складываются (вычитаются), а знаменатель сохраняется.
Если знаменатели разные, то дроби приводят к общему знаменателю и складывают (вычитают) как дроби с равными знаменателями.
При сложении (вычитании) смешанных чисел нужно сложить (вычесть) их целые и дробные части.
УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ
При умножении дробей умножают числители и знаменатели.
При умножении смешанных чисел превращают их сначала в неправильные дроби, а потом умножают.
Если в произведении один из множителей - целое число, то его представляют в виде дроби со знаменателем 1.
ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ
При делении двух дробей деление заменяют умножением первой дроби на дробь, обратную второй дроби.
ВОЗВЕДЕНИЕ ДРОБИ В СТЕПЕНЬ
Возведение дроби в степень: при возведении дроби в степень возводят числитель и знаменатель этой дроби в данную степень.
При возведении смешанного числа в степень сначала превращают его в неправильную дробь, а потом возводят в степень.

ПРОПОРЦИИ

Определение. Пропорция — это равенство двух отношений. a/b = c/d или а:b = c:d (a, b, c, d ≠ 0). Члены пропорции: a, d — крайние члены, b, с — средние члены.
Свойства	Примеры
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних ее членов.	ad = bc.
Каждый член пропорции является четвертым пропорциональным членом по отношению к трем остальным.

ПРОЦЕНТЫ

Определение. Процент — это сотая часть некоторого числа (принимаемого за единицу). 1% от числа а — это
Нахождение процента от числа
р% от числа	Найти 15% от 180. Решение: Ответ: 27.
Нахождение числа по его проценту
Если р% от какого-то числа равно b, то всё число равно	Найти число, 22% которого равны 33. Решение: Искомое число — х — это решение уравнения: х = 150. Ответ: 150.
Нахождение процентного отношения двух чисел
Число а составляет от числа b	Сколько процентов составляет число 24 от числа 120? Решение: искомое число процентов — х. х = 20(%). Ответ: 20%.
Изменение числа, выраженное в процентах
Число a увеличивалось на р% Число a уменьшилось на р%	Цена товара а = 120 грн увеличилась на 5%. Новая цена товара: Ответ: 126 грн.

КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ

Правила	Примеры
На координатной прямой изображается множество всех действительных чисел. 0 - начало координат.
Числа, обозначенные на координатной прямой справа от точки 0, являются положительными, а слева — отрицательными.

МОДУЛЬ ЧИСЛА

Определения	Примеры
Модулем положительного числа называется само это число.	|33| = 33.
Модулем отрицательного числа называется число, ему противоположное.	|−5| = |5|.
Модуль нуля равен нулю.	|0| = |0|
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МОДУЛЯ
На координатной прямой модуль — это расстояние от начала координат до точки, изображающей данное число.	|a| = OA; |b| = OB.
Модуль разности двух чисел а и b — это расстояние между двумя точками а и b на координатной прямой.	|a − b| = AB
СВОЙСТВА МОДУЛЯ
Модуль любого числа — неотрицательное число. |a| ≥ 0.	|3| ≥ 0; |−20| ≥ 0; |0| = 0.
Модули противоположных чисел равны. |−a| = |a|.	|−12| = |12| = 12.
Величина числа не превосходит величину его модуля. a ≤ |a|.	4 ≤ |4|; −6 ≤ |−6|.
Модуль произведения равен произведению модулей сомножителей. |a × b| = |a| × |b|; |an| = |a|n; |a|2k = a2k.	|5 × 3| = |5| × |3|.
Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю).
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
Правила	Примеры
При сложении двух чисел с одинаковыми знаками их модули складываются, а перед суммой ставится их общий знак.	13 + 21 = 34; −17 + (−33) = −50.
При сложении двух чисел с разными знаками от большего модуля вычитают меньший и ставят знак того числа, у которого больший модуль.	−13 + 21 = 8; 20 − 37 = −17.
Вычитание двух чисел заменяется сложением уменьшаемого и противоположного вычитаемому числа.	28 − 11 = 17; 19 − (−5) = 19 + 5 = 24; −35 + 20 = −15.
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
При умножении двух чисел модули их умножают, а знак ставят по указанной схеме: + × + = + : + × − = − : − × − = + : − × + = −	7 × (−2) = −14; −9 × (−7) = 63; −13 × 5 = − 65.
При делении двух чисел модуль первого числа (делимого) делят на модуль второго числа (делителя), а знак ставят по схеме умножения.	−25 : (−5) = 5; −120 : 3 = −40; 48 : (−4) = −12;

ПОДОБНЫЕ СЛАГАЕМЫЕ

Определения	Примеры
Подобными слагаемыми называются слагаемые, которые равны, или отличаются только коэффициентами.	11a − 2b + 4a − 12a + c − 7b = (11 + 4 −12)a + (−2 − 7)b + c = 3a − 9b + c.
Привести подобные слагаемые — значит сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить неизменной.

СКОБКИ

Правила	Примеры
Скобки в выражениях вводятся для изменения обычного порядка действий:
1) возведение в степень (справа налево); 2) умножение или деление (слева направо); 3) сложение или вычитание (слева направо).	13 + (7 − 3)² = 13 + 4² = 13 + 16 = 29; (113 + 17) : (123 − 121) = 130 : 2 = 65; (200 − 28) − (17 + 53) = 172 − 70 = 102.
РАСКРЫТИЕ СКОБОК
Если перед скобками стоит «+», то скобки опускаются, а знаки слагаемых в скобках не меняются.	. . . + (a + b) = . . . + a + b.
Если перед скобками стоит знак «−», то скобки опускаются, а знаки слагаемых меняются на противоположные.	. . . − (a + b) = −a − b.

Дивіться також: