§ 2. Уравнения. Уравнения с одной переменной. Выражения и их преобразования

УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ

Определения	Примеры
Уравнение — это равенство, содержащее переменную. Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.	3 (х − 4) = 24, при х = 12 3 (12 − 4) = 24 3 × 8 = 24 24 = 24 х = 12 — корень уравнения.
Решить уравнение — это значит найти его корни или доказать, что их нет.	3 (х − 4) = 24, х = 12.
Равносильные уравнения — это уравнения, которые имеют одни и те же корни.	Зх = 36 и 3 (х − 4) = 24; их корень х = 12.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ

Свойства	Примеры
В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые. Если из одной части уравнения перенести слагаемые в другую часть и поменять при этом знаки слагаемых на противоположные, получим уравнение, равносильное данному.	Зх − 4 + 5х = 36 Зх + 5х = Зб + 4 8х = 4 + 36 8х = 40.
При делении (умножении) обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, получим уравнение, равносильное данному.	Разделим обе части уравнения 8х = 40 на 8: х = 5 — это уравнение равносильно 8х = 40, их корень 5.

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ

Определения	Примеры
Уравнение вида ax = b, где x — переменная, a и b — некоторые числа, называется линейным уравнением.	4 − 5х = 6 − 2 (х + 2), используя свойства уравнений: 4 − 5х = 6 − 2х − 4, −5х + 2х = 6 − 4 − 4, −3x = −2,
Решение линейных уравнений
ax + b = 0; ax = −b.	5х + 4 = 0; 5х = −4.
a ≠ 0; — единственный корень.	— корень.
а = 0; 0х = −b — нет корней.	0х = −10 нет корней: −10 на 0 разделить невозможно.
а = 0; 6 = 0. 0 × х = 0 — бесконечное множество корней.	7х = 7х, 7х − 7х = 0, 0х = 0, х — любое число.

ВИДЫ ВЫРАЖЕНИЙ

Определения	Примеры
Выражение — правило, задающее совокупность действий, которые нужно выполнить в определенном порядке над значениями переменных и постоянных, чтобы получить значение этого выражения.	Зх − 187 + 6; (a + b) c − ab.
Числовое выражение — выражение, составленное из чисел с помощью знаков действий и скобок.
Выражение с переменными — это выражение, составленное из чисел и переменных с помощью знаков действий и скобок.	1,5x² − (28y − 127) : 3.
Подставив в выражение значение переменных, получим числовое выражение. Найдя значение этого числового выражения, получим значение выражения с переменной.	если х = 2; у = 5,5, то 1,5x² − (28y − 127) : 3 = = 1,5 × 2² − (28 × 5,5 − 127) × 3 = = 1,5 × 4 − (154 − 127) × 3 = = 6 − 27 : 3 = 6 − 9 = −3.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ

Определения	Примеры
Тождество — это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных.	За − 4 + 5а = 8а − 4.
Тождественное преобразование выражения — это замена одного выражения другим, тождественно равным ему.	Зх − 4 = х + 2 и 2х = 6 — тождественно равны.

ИЗВЕСТНЫЕ ТОЖДЕСТВА

Свойства	Примеры
a + b = b + a; ab = ba переместительное свойство.	17 + 13 = 13 + 17; 5 × 3 = 3 × 5.
(а + b) + с = а + (b + с); (ab)c = a(bc) сочетательное свойство.	(17 + 13) + 33 = 17 + (13 + 33); (2 × 8) × 4 = 2 × (8 × 4).
a (b + c) = ab + ac распределительное свойство.	7 × (11 + 13) = 7 × 11 + 7 × 13.

Дивіться також: