§ 3. Целые выражения

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Определения	Примеры
n ∈ N, n ≥ 2 a¹ = a;	З³ = 3 × 3 × 3 = 27; (−5)² = (−5) × (−5) = 25; 7¹ = 7; 0n = 0; 1n = 1; n ∈ N; 00 — не определено,

СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ

am × an = am+n	25 × 23 = 25+3 = 28	am+n = am × an
(am)n = amn	(25)3 = 215	amn = (am)n = (an)m
(ab)n = an × bn	(2 × 3)4 = 24 × 34 = 16 × 81 = 1296	an × bn = (ab)n

Полезные замечания
Любая степень числа а > 0 есть число положительное.	511 > 0; (1,2)7 > 0.
При возведении в четную степень отрицательного числа в результате получаем знак «+», в нечетную степень — знак «−».	(−3)4 = (−3) (−3) (−3) (−3) = 34 = 81; (−3)4 > 0 (−3)3 = (−3) (−3) (−3) = −27; (−3)3 < 0.
Удобные приемы вычислений со степенями
а) 33² = (11 × 3)² = 11² × 3² = 121 × 9 = 1089;	в) = 33 = 9;
б) 42,5 = 4² × 40,5 = 16 × √4 = 16 × 2 = 32;	г) = 23 = 8.

ОДНОЧЛЕНЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Определения	Примеры
Одночленом называется произведение чисел, переменных и их натуральных степеней, а также сами числа, переменные и их степени. Число 0 называется нулевым одночленом.	0, 3a²xy³; ab³; m; x6 — одночлены.
Степенью одночлена называется сумма показателей переменных, входящих в одночлен. Если одночленом является число, не равное нулю, то его степень считается равной нулю. Число 0 степени не имеет.	3a5 b² c³ — одночлен десятой степени (5 + 2 + 3 = 10); 5ax³ — одночлен четвертой степени (1 + 3) = 4; 7 — одночлен нулевой степени (7х0).
Если в запись одночлена входит переменная x в степени k(xk), то говорят, что этот одночлен имеет по х (или относительно х) степень k.	5ax³ — одночлен третьей степени относительно переменной х.
Одночлен записан в стандартном виде, если первый его множитель есть число, коэффициент одночлена, а дальше стоят переменные в некоторых степенях, расположенные по алфавиту (латинскому или греческому).	4a² b³ y³; 6a5 b² c6; −3xy³ z4; 4a² b³ j³ — одночлены в стандартном виде.
Одночлены называются подобными, если они равны между собой или отличаются только своими коэффициентами.	4a5 b²; −1; 3a5 b²; 2/3 a5 b² — подобные одночлены.
Действия над одночленами
Сложение и вычитание	3a² + ab + b² + 5a³ − 3ab = 8a³ − 2ab + b².
Умножение	(4a³ b² c) × (−2a4 bd) = −8a7 b³ cd.
Возведение в степень	(2x² y)³ = 2³ × (x²)³ y³ = 8x6 y³.
Деление	= 6a³ b².

Дивіться також: