§ 2. Квадратные корни. Действительные числа

КВАДРАТНЫЕ КОРНИ И ИХ СВОЙСТВА

Определения	Примеры
Квадратным корнем из числа a называют число, квадрат которого равен a.	x² = 25, х1 = 5; х2 = −5 — квадратные корни.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а. Арифметический квадратный корень из числа а обозначается знаком √a; а называется подкоренным выражением. Действие, при помощи которого находится арифметический квадратный корень, называется извлечением квадратного корня. Равенство √a = b верно, если: 1) b ≥ 0; 2) b² = а.	√25 = 5; 5 — арифметический квадратный корень. √81 = 9.
При a < 0 √a не имеет смысла, ибо квадрат любого числа не может быть отрицательным.	√−25 не имеет смысла.
При любом а, если √a имеет смысл, верно равенство: (√a)² = a.	(√9)² = 9; (√7)² = 7.
СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Если a ≥ 0, b ≥ 0, то √ab = √a × √b	√4 × 1 = √4 × √1 = 2 × 1 = 2; √16 × x = √16 × √x = 4√x.
Если a ≥ 0, b > 0, то
Для любого значения а верно равенство: √a² = |a|.	√(−3)² = |−3| = 3; √4y² = √4 × √y² = 2|y|.
Вынесение множителя из-под знака корня.	√125 = √3 × 25 = 5√3.
Внесение множителя под знак корня.	10√2 = √100 × 2 = √200.
УРАВНЕНИЕ х = а²
Если a < 0, то уравнение не имеет корней;	x² = −25, нет корней;
Если а = 0, то уравнение имеет один корень х = 0;	x² = 0, x = 0
Если a > 0, то уравнение имеет два корня: x1 = √a; x2 = −√a.	x² = 144; x1 = 12; x2 = −12; x² = 7; x1 = √7; x2 = −√7.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Числа, которые можно записать в виде дроби , где m — целое число, n — натуральное, называются рациональными. Это все целые и дробные числа (положительные и отрицательные). Например, . Все остальные числа называются иррациональными. Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел.
N — множество натуральных чисел; Z — множество целых чисел;	Q — множество рациональных чисел; R — множество действительных чисел.
Квадратный корень из рационального числа может быть:
а) целым числом;	√64 = 8; √4 = 2.
б) десятичной дробью;	√0,36 = 0,6; √0,0025 = 0,05.
в) бесконечно непериодической десятичной дробью или бесконечно периодической десятичной дробью.
! Во всех случаях, описанных выше, квадратный корень является рациональным числом.
г) бесконечно непериодической десятичной дробью (в этом случае квадратные корни являются иррациональными числами).	√2 = 1,4142... √7 = 2,645751...

Дивіться також: