§ 3. Квадратные уравнения

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определения	Примеры
Уравнение вида ах² + bх + с = 0, где х — переменная; а, b, с — некоторые числа, причем а ≠ 0, называют квадратным уравнением; а — первый коэффициент, b — второй, с — свободный член.	2х² + Зх − 1 = 0; х² − 2х + 4 = 0.
Если в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов равен нулю, то данное уравнение называют неполным квадратным уравнением. Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
1) ax² = 0 при b = 0, с = 0; х² = 0; х = 0 уравнение имеет только один корень.	5х² = 0; х = 0. Ответ: 0.
2) При с = 0, ax² + bx = 0; х (ах + b) = 0; х1 = 0 или (ах + b) = 0; х2 = уравнение всегда имеет два корня.	4х² + Зх = 0; х (4х + 3) = 0; х = 0 или 4х + 3 = 0; x = Ответ: 0,
3) При b = 0, ах² + с = 0; x² = , так как с ≠ 0, то ≠ 0, тогда: а) если > 0, то уравнение имеет два корня x1 = −; x2 = ; б) если < 0, то уравнение не имеет корней.	9x² − 4 = 0; нет корней. Ответ: нет корней.
Если а = 1, то квадратное уравнение называют приведенным.	x² − x + 30 = 0.
Полные квадратные уравнения ах² + bх + с = 0, а ≠ 0, решаем по формуле: x1,2 = , где D = b² − 4ac называют дискриминантом данного квадратного уравнения.
Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.	2х² + 5х + 6 = 0; D = 25 − 48 = −23; D < 0, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Если D = 0, то уравнение имеет два одинаковых корня: х1 = х2 =	4x² + 4x + 1 = 0; D = l6 − 6 = 0, D = 0, следовательно, уравнение имеет два одинаковых корня: х1 = х2 = Ответ: −0,5.
Если D > 0, то уравнение имеет два разных корня: x1 = ; x2 = .	2x² + 3x + 1 = 0; D = 9 − 8 = 1; x1 = ; x2 = . Ответ: −0,5; −1.
Для квадратного уравнения ах² + 2kx + c = 0, второй коэффициент которого — четное число, формулу корней удобно записать так: x1,2 = , где D1 = k² − ac. Теорема Виета ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, x1 x2 = , x1 + x2 = в приведенном квадратном уравнении х² + bх + с = 0 x1 + x2 = −b; x1 × x2 = c.	3x² + 8x − 3 = 0; D1 = 16 + 9 = 25; x1 = = ; x2 = = −3. Ответ: , -3. х² − 5х + 6 = 0; х1 + х2 = 5; х1 × x2 = 6; x1 = 3; х2 = 2. Ответ: 2; 3.
Уравнение вида ах4 + bх² + с = 0, где а ≠ 0, b ≠ 0 называется биквадратным уравнением.	2х4 + Зх² + 4 = 0.
Формула разложения квадратного трехчлена на множители: ах² + bх + с = а (х − х1) (х − х2).	2x² − x − 3 = 2 (х − х1) (х − х2); 2x² − x − 3 = 0; х1 = 1,5; х2 = −1. 2x² − x − 3 = 2 (x − 1,5) (x + 1).

Дивіться також: