МЕНЮ
Учень! Що для тебе (як для школяра) означає школа?





  • ▲  угору сторінки
  • ◄  на попередню сторінку
головна сторінка > Теорія > Геометрия > 10 класс > Параллельность в пространстве > § 2.5

§ 2.5. Изображение некоторых плоских фигур при параллельном проектировании

Изображение треугольника
Любой треугольник (прямоугольный, равнобедренный, правильный) изображается произвольным треугольником в удобном расположении на рисунке.

ΔABC — изображение ΔA1B1C1 на плоскость α.

Если ΔA1B1C1 — прямоугольный, то изображение направлений двух его высот (катетов) задано. Произвольно изображаются высота, опущенная на гипотенузу, и центр вписанной окружности.

Изображение перпендикуляра, опущенного из заданной точки гипотенузы на какой-либо катет, является отрезком, параллельным второму катету.

∠C = 90°, AB — гипотенуза,
K ∈ AB, KM ⊥ AC, KM || BC.

Если ΔA1B1C1 — равнобедренный, то изображение медианы B1D1 является изображением высоты и биссектрисы ΔA1B1C1.

Изображение центра вписанной и описанной окружностей принадлежат BD.

AB = BC,
BD — медиана (биссектриса, высота).

Если ΔA1B1C1 — правильный, то центры вписанной и описанной окружностей совпадают и лежат в точке пересечения медиан. Поэтому построение изображения этого треугольника не может быть произвольным.

AM и BD — медианы (биссектрисы, высоты),
O — центр вписанной и описанной окружностей.

Изображение параллелограмма
Любой заданный параллелограмм A1B1C1D1 (включая прямоугольник, квадрат, ромб) может быть изображен произвольным параллелограммом ABCD.

На изображении параллелограмма общего вида изображения двух его высот, опущенных из одной вершины, можно построить произвольно. Причем высоты, опущенные из вершины острого угла параллелограмма-оригинала, лежат вне параллелограмма, а высоты, опущенные из вершины тупого угла, — внутри него.

Если A1B1C1D1 — ромб, то на изображении определяется пара взаимно перпендикулярных прямых — это диагонали ABCD. Поэтому произвольно можно построить изображение лишь одной высоты из данной вершины ромба на его сторону.

При изображении второй высоты ромба учитывают, что основания этих высот лежат на прямой, параллельной диагонали ромба.

Аналогично изображаются перпендикуляры, опущенные на стороны ромба из любой точки его диагонали.

ABCD — изображение ромба A1B1C1D1;
BM и BN — изображение высот ромба B1M1 и B1N1, MN || AC.

Если A1B1C1D1 — квадрат, то его изображение ABCD (произвольный параллелограмм), причем изображения высот, биссектрис, углов, перпендикуляров к сторонам строить произвольно нельзя.
Изображение трапеции
Любая трапеция A1B1C1D1 (в том числе и равнобокая, прямоугольная) может быть изображена произвольной трапецией ABCD.
Если A1B1C1D1 — трапеция общего вида, то изображение ее высоты и одного из перпендикуляров, опущенных из точки основания на боковые стороны, можно строить произвольно.

ABCD — изображение трапеции A1B1C1D1,
BK — высота.

Если A1B1C1D1 — прямоугольная трапеция, то C1B1 ⊥ A1B1, изображение высоты трапеции уже задано на рисунке, поэтому произвольно может быть изображен лишь перпендикуляр к наклонной боковой стороне.

ABCD — изображение прямоугольной трапеции A1B1C1D1, CB ⊥ AB.

Если A1B1C1D1 — равнобокая трапеция (имеет ось симметрии), то изображением высоты является отрезок, соединяющий середины оснований или ему параллельный.

BK = KC; AN = DN;
KN — изображение оси симметрии A1B1C1D1;
KN ⊥ AD; BM ⊥ AD;
BM и KN ⊥ изображение высот трапеции A1B1C1D1.

Изображение окружности
Параллельной проекцией окружности является эллипс.

Центром окружности на изображении является точка пересечения сопряженных диаметров эллипса.

Два диаметра окружности (эллипса) называются сопряженными, если каждый из них делит пополам все хорды, параллельные второму диаметру.

данная окружность;
эллипс — изображение данной окружности: AB ⊥ CD;
AB и CD — сопряженные диаметры,
O — изображение центра окружности является центром эллипса.

Изображение правильного шестиугольника
У правильного шестиугольника противолежащие стороны попарно параллельны и сторона шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности; хорды, соединяющие симметричные относительно диаметра вершины и центр окружности, делят этот диаметр на четыре равные части.

Этот факт используется при параллельном проектировании правильного шестиугольника.

Две вершины — концы одного диаметра эллипса. Делим этот диаметр на четыре равные части и через точки деления 1,0,2 проводим прямые, параллельные диаметру, сопряженному данному.

A'B'C'D'E'F' — правильный шестиугольник.

ABCDEF — изображение правильного шестиугольника.

Якщо Ви помітили помилку, виділіть необхідний текст та натисніть Ctrl+Enter

© 2008-2022. Офіційний сайт Бердянської ЗОШ І-ІІІ ступенів № 2 Запорізької області

 
[
]