§ 3.1. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямых в пространстве
Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Признак. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.	a1 || b1, a2 || b2, a1 ⊥ a2 ⇒ b1 ⊥ b2
Перпендикулярность прямой и плоскости
Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Признак. Если прямая перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости и пересекающимся, то она перпендикулярна данной плоскости.	(a ⊥ α) ⇔ (a ⊥ x); (a ⊥ b и a ⊥ c) ⇒ a ⊥ α; x — любая прямая плоскости α.
Свойства прямой и плоскости, перпендикулярных между собой
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна заданной плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости.	(a ⊥ α и b ⊥ α) ⇒ a || b; (a || b и a ⊥ α) ⇒ b ⊥ α.
Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и второй плоскости. Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой.	(α || β и α) ⇒ a ⊥ β; (α ⊥ a и β ⊥ a) ⇒ α || β.

Перпендикуляр и наклонная
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащего в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащего в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
Перпендикуляр короче произвольной наклонной, проведенной к плоскости из той же точки.	У равных наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, проекции равны, и наоборот.	Из двух наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, больше та, у которой проекция больше, и наоборот.
AC < AB.	Если AB = AD, то CB = CD. Если CB = CD, то AB = AD.	Если CB > CD, то AB > AD. Если AB > AD, то CB > CD.

Теорема о трех перпендикулярах
(имеет два утверждения: прямое и обратное)
Если прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Если прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.	AB ⊥ перпендикуляр, AC — наклонная, BC — проекция наклонной AC на плоскость α, KP — прямая на плоскости α. 1) Если KP ⊥ BC, то KP ⊥ AC. 2) Если KP ⊥ AC, то KP ⊥ BC.
Перпендикулярность двух плоскостей
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.	Если α пересекает β по прямой c, γ ⊥ c, γ пересекает α по прямой a, γ пересекает β по прямой b, a ⊥ b, то α ⊥ β.
Признак. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.	Если b ⊥ α и β проходит через b, то β ⊥ α.
Свойство. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.	Если β ⊥ α, β пересекает α по a и b ⊥ a (b лежит в β), то b ⊥ α.

Дивіться також: