МЕНЮ
Учень! Що для тебе (як для школяра) означає школа?





  • ▲  угору сторінки
  • ◄  на попередню сторінку
головна сторінка > Теорія > Геометрия > 10 класс > Прямая и плоскость в пространстве > § 3.1

§ 3.1. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямых в пространстве
Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Признак. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

a1 || b1, a2 || b2, a1 ⊥ a2 ⇒ b1 ⊥ b2

Перпендикулярность прямой и плоскости
Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения.

Признак. Если прямая перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости и пересекающимся, то она перпендикулярна данной плоскости.

(a ⊥ α) ⇔ (a ⊥ x);
(a ⊥ b и a ⊥ c) ⇒ a ⊥ α;
x — любая прямая плоскости α.

Свойства прямой и плоскости, перпендикулярных между собой
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна заданной плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости.

(a ⊥ α и b ⊥ α) ⇒ a || b;
(a || b и a ⊥ α) ⇒ b ⊥ α.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и второй плоскости.

Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой.

(α || β и α) ⇒ a ⊥ β;
(α ⊥ a и β ⊥ a) ⇒ α || β.

Перпендикуляр и наклонная
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащего в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащего в плоскости, называется основанием наклонной.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

Перпендикуляр короче произвольной наклонной, проведенной к плоскости из той же точки. У равных наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, проекции равны, и наоборот. Из двух наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, больше та, у которой проекция больше, и наоборот.

AC < AB.

Если AB = AD, то CB = CD.
Если CB = CD, то AB = AD.

Если CB > CD, то AB > AD.
Если AB > AD, то CB > CD.

Теорема о трех перпендикулярах
(имеет два утверждения: прямое и обратное)
Если прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Если прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

AB ⊥ перпендикуляр,
AC — наклонная,
BC — проекция наклонной AC на плоскость α,
KP — прямая на плоскости α.
1) Если KP ⊥ BC, то KP ⊥ AC.
2) Если KP ⊥ AC, то KP ⊥ BC.

Перпендикулярность двух плоскостей
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Если α пересекает β по прямой c, γ ⊥ c, γ пересекает α по прямой a, γ пересекает β по прямой b, a ⊥ b, то α ⊥ β.

Признак. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Если b ⊥ α и β проходит через b, то β ⊥ α.

Свойство. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Если β ⊥ α, β пересекает α по a и b ⊥ a (b лежит в β), то b ⊥ α.

Якщо Ви помітили помилку, виділіть необхідний текст та натисніть Ctrl+Enter

© 2008-2022. Офіційний сайт Бердянської ЗОШ І-ІІІ ступенів № 2 Запорізької області

 
[
]