§ 4.1. Декартовы координаты в пространстве

Оси координат: ось x — ось абсцисс, ось y — ось ординат, ось z — ось аппликат. Оси взаимно перпендикулярны. Точка O — начало координат. Произвольной точке пространства ставят в соответствие три числа: абсциссу x0, ординату y0 и аппликату z0. Эти числа называются декартовыми координатами заданной точки.
Расстояние между двумя точками: AB = √(x2 − x1)² + (y2 − y1)² + (z2 − z1)².

Координаты середины отрезка	Координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении
x = , y = , z = .	Если , то x = , y = , z = .

Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки A и B фигуры F в точки A1 и B1 фигуры F1 так, что AB = A1B1.
Симметрия относительно плоскости
Пусть α — произвольная фиксированная плоскость. Из точки X опускают перпендикуляр на плоскость α (O — точка пересечения его с плоскостью α) и на его продолжении за точку O откладывается отрезок OX1, равный OX. Точки X и X1 называют симметричными относительно плоскости α.
Преобразование фигуры F в F1, при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку X1, симметричную X относительно плоскости α, называется преобразованием симметрии относительно плоскости α. При этом фигуры F и F1 называются симметричными относительно плоскости α.
На рисунке 1 изображены две сферы, симметричные относительно плоскости α. Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости α, а плоскость α называется плоскостью симметрии.	Рис. 1
На рисунке 2 изображены две плоскости симметрии сферы. Заметим, что у сферы таких плоскостей симметрии бесконечное множество.	Рис. 2
У куба также имеются плоскости симметрии. На рисунке 3 изображены две из них.	Рис. 3
Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (x;y;z) фигуры F переходит в точку (x + a; y + b; z + c), где a, b и c — постоянные. Параллельный перенос в пространстве задается формулами x1 = x + a, y1 = y + b, z1 = z + c. На рисунке 4 призма ABCA1B1C1 при параллельном переносе переходит в призму A'B'C'A'1B'1C'1.	Рис. 4
Свойства параллельного переноса
1. Параллельный перенос есть движение. 2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. 3. При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя). 4. Каковы бы ни были две точки A и A1, существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A1. 5. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.
Гомотетия. Пусть F — данная фигура и O — фиксированная точка (рис. 5). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч OX и отложим на нем отрезок OX1, равный kOX, где k — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X1, построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра O. Число k называется коэффициентом гомотетии. Фигуры F и F1 называются гомотетичными. На рисунке 5 четырехугольник X1Y1Z1U1 гомотетичен четырехугольнику XYZU с центром гомотетии O и коэффициентом гомотетии k = 2.	Рис. 5
Преобразования подобия. Преобразование фигуры в фигуру называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Это значит, что если произвольные точки A и B фигуры F при этом преобразовании переходят в точки A1 и B1 фигуры F1, то A1B1 = kAB, где k > 0. Число k называется коэффициентом подобия (k > 0). При k = 1 преобразование подобия является движением.
Углом между плоскостями α и β, которые пересекаются по прямой c, называется угол между прямыми, по которым третья плоскость γ, перпендикулярная линии пересечения, пересекает плоскости α и β. Угол между параллельными плоскостями считается равным 0°. Угол между плоскостями не превышает 90°.	α × β = c; γ ⊥ c; γ × α = a; γ × β = b; ∠(α,β) = ∠(a,b).
Способы построения: а) на прямой с пересечения плоскостей α и β выбираем точку C; через C в плоскостях α и β проводим прямые a и b, перпендикулярные c. Угол между прямыми a и b равен углу между плоскостями.	α × β = c; ∠(α,β) = ∠(a,b); C ∈ c; a ⊥ c; b ⊥ c; a ⊂ α; b ⊂ β.
б) возьмем точку A ∈ α; A ∉ c; опустим из нее перпендикуляры на прямую c и плоскость β: AB ⊥ c; AA1 ⊥ β. Соединим точки B и A1: A1B ⊥ c по теореме о трех перпендикулярах; ∠ABA1 — угол между плоскостями α и β по определению.
Углом между прямой и плоскостью, которая ее пересекает, называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Для построения проекции прямой a на плоскость α достаточно найти две точки проекции: например точку пересечения прямой a и плоскости α и основание любого перпендикуляра, опущенного из второй точки прямой a на плоскость.	AO ⊥ α, BO — проекция AB на плоскость α; ∠ABO — угол между прямой AB и плоскостью α.
Угол между параллельными прямой и плоскостью считается равным 0°.	Если a || α (a лежит в α), то ∠(a,α) = 0.
Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90°.	a ⊥ α, то ∠(a,α) = 90°.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и параллельны данным скрещивающимся прямым. Если угол между скрещивающимися прямыми равен 90°, то они называются перпендикулярными.	a1 || a; b1 || b; ∠(a;b) = ∠(a1;b1) = φ (меньший из смежных углов); 0° < ∠(a;b) ≤ 90°.
Площадь ортогональной проекции
Ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость.	AA1 ⊥ α; AA1 × α = A1; A1 — проекция A на плоскость α.
Проекцией отрезка на плоскость называется отрезок, соединяющий проекции его концов.	A1B1 — проекция отрезка AB на плоскость α.
Проекцией многоугольника на плоскость называется фигура, ограниченная проекциями сторон многоугольника на эту плоскость.	A1B1C1D1 — проекция четырехугольника на плоскость α.
Площадь ортогональной проекции многоугольника равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.	S1 = Scosα.

Дивіться також: