§ 4.2. Векторы в пространстве

Вектором называется направленный отрезок: AB = a.
Координатами вектора называются разности координат конца и начала вектора.	a(a1;a2;a3), где a1 = x2 − x1, a2 = y2 − y1, a3 = z2 − z1.
Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе. У равных векторов координаты равны.	a(a1;a2;a3) = b(b1;b2;b3) ⇔
Модулем (абсолютной величиной) вектора называется длина отрезка, которым задается вектор.	|a| = √a1² + a2² + a3².
Нулевым вектором называется вектор, конец которого совпадает с началом. На рисунках такой вектор изображается точкой и обозначается 0. Модуль нулевого вектора равен нулю, а его направление не определено.

Коллинеарными векторами называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным произвольному вектору.
Виды коллинеарных векторов
сонаправленные	противоположно направленные
равные	противоположные
Если a и b коллинеарны, то (соответствующие координаты пропорциональны).

Действия с векторами

Суммой векторов a(a1;a2;a3) и b(b1;b2;b3) в пространстве называется вектор c (a1 + b1; a2 + b2; a3 + b3).
Сложение двух векторов
Сумма двух векторов находится с помощью правила треугольника или правила параллелограмма: c = a + b.
Правило треугольника	Правило параллелограмма

Для произвольных трех точек A, B, C имеет место равенство: AB + BC = AC.
Сумма трех векторов, непараллельных одной плоскости, находится по правилу параллелепипеда.	OM = OA + OB + OC.
Разностью векторов a(a1;a2;a3) и b(b1;b2;b3) в пространстве называется вектор c (a1 − b1; a2 − b2; a3 − b3).
Вычитание векторов
Разность двух векторов a и b — это такой вектор c, который в сумме с вектором b дает вектор a: b + c = a ⇒ c = a − b.
Вектор c можно найти также, прибавляя к вектору a вектор −b, противоположный вектору b: c = a + (−b).
Произведением вектора a(a1;a2;a3) на число λ называется вектор a(λa1;λa2;λa3).
Умножение вектора на число
Произведение вектора a на число λ — это коллинеарный ему вектор λa, сонаправленный с вектором a, если λ > 0, и направленный противоположно к нему, если λ < 0. Если λ = 0, то λa = 0. Модуль вектора λa: |λa| = |λ| |a|.
Скалярным произведением векторов a(a1;a2;a3) и b(b1;b2;b3) в пространстве называется число a1b1 + a2b2 + a3b3: 1) a × a = a² = |a|²; 2) a × b = |a| × |b| cosφ; 3) a ⊥ b ⇔ a × b × 0 — условие перпендикулярности двух векторов. cosφ =

0° ≤ φ < 90° a × b > 0	φ = 90° a × b = 0	90° < φ ≤ 180° a × b < 0

Единичные векторы — это векторы, модули которых — единицы. Координатные векторы (орты) направлены вдоль осей координат. Модули этих векторов равны 1. e1(1;0;0), e2(0;1;0), e3(0;0;1).
Произвольный вектор a можно разложить единственным способом по координатным векторам. a(a1;a2;a3) = a1e1 + a2e2 + a3e3. Коэффициенты разложения ai являются проекциями вектора a на оси координат.
Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам
Компланарными называются векторы, параллельные одной и той же плоскости.
m — произвольный вектор пространства, a, b и c — некомпланарные (то есть непараллельные одной плоскости) векторы. Всегда существует разложение: m = αa + βb + γc (α, β и γ — единственные).

Дивіться також: