§ 2. Пирамида

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (основания пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины пирамиды), и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.
	SABCDE — пирамида, ABCDE — основание пирамиды, S — вершина пирамиды, SO — высота пирамиды (SO = H, SO ⊥ ABCDE), SK — высота боковой грани (SK ⊥ AB, SK = h).
Элементы пирамиды
1. Высота пирамиды:	перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
2. Боковые грани:	ΔASB, ΔSBC, ΔSDC, ΔSDE, ΔSAE.
3. Боковые ребра:	SA, SB, SC, SD, SE.
Формулы
Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней пирамиды.	Sбок. = SSAB + SSBC + SSCD + SSDE + SSEA
Полная поверхность пирамиды равна сумме боковой поверхности пирамиды и площади основания пирамиды.	Sполн. = Sбок. + Sосн.
Объем пирамиды равен произведению одной третьей площади основания пирамиды на ее высоту.	V = Sосн. × H

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА

Пирамида называется правильной, если ее основание является правильным n-угольником, а основание высоты пирамиды совпадает с центром этого n-угольника.
Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая высоту пирамиды. Апофемой правильной пирамиды называется высота боковой грани.		H — высота, SO — ось, k — апофема.
Некоторые виды правильных пирамид
Треугольная	Четырехугольная	Шестиугольная
ΔABC — правильный; O — точка пересечения медиан (высот и биссектрис), центр вписанной и списанной окружностей.	ABCD — квадрат; O — точка пересечения диагоналей.	ABCDEF — правильный шестиугольник; O — точка пересечения диагоналей AD, BE и FC.

Основные соотношения правильной пирамиды
SABCD — правильная четырехугольная пирамида; AB = BC = CD = DA = a — сторона основания; ∠CDA = ∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = 90° SA = SB = SC = SD = l — боковое ребро; SO = H — высота; SK = k — апофема. ∠SKO = α — линейный угол двугранного угла при основании (угол наклона боковой грани к плоскости основания); ∠SAO = β — угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Все боковые ребра равны и одинаково наклонены к основанию. ∠DSC = γ — плоский угол при вершине боковой грани; AO = R — радиус окружности, описанной около основания; OK = r — радиус окружности, вписанной в основание; ON ⊥ SC; ∠BND = φ — линейный угол двугранного угла при боковом ребре SC; ΔSAB = ΔSBC = ΔSCD = ΔSDA — боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками и одинаково наклонены к основанию.		SO ⊥ ABCD; SK ⊥ DC; OK ⊥ DC.
		Sбок. = Pосн. × SK, Sбок. = Pосн. × k, Sбок. = , (∠SKO = α — угол наклона боковых граней к основанию); Sбок. = Sбок. гр. × n, (n — число граней); Sполн. = Sбок. + Sосн.; V = Sосн. × H.
Положение высоты в некоторых видах пирамид
1. Если все боковые ребра пирамиды равны или равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности.		Если SA = SB = SC = ... или ∠SAO = ∠SBO = ∠SCO = ..., то SO ⊥ ABC, O — центр описанной окружности.
2. Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом или все высоты боковых граней равны, то высота пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.		SK ⊥ AB, SE ⊥ BC, SP ⊥ CD...; ∠SKO = ∠SEO = ∠SPO = ..., то O — центр вписанной окружности.
3. Если только одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то высотой пирамиды является высота этой боковой грани.		ASC ⊥ ABC, SO ⊥ AC. SO ∈ ASC, SO — высота пирамиды.
4. Если две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды будет их общее боковое ребро.		SAB ⊥ ABC, SAC ⊥ ABC, SA ⊥ ABC, SA — высота пирамиды.
5. Если две не смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды будет отрезок прямой, по которой пересекаются плоскости этих граней.		SAB ⊥ ABC, SDC ⊥ ABC, SAB ∩ SDC no прямой SO, SO ⊥ ABC, SO — высота пирамиды.
6. Если только две боковые грани пирамиды (или наклонной призмы) одинаково наклонены к основанию или общее боковое ребро этих граней образует равные углы со смежными с ними сторонами основания, то это общее боковое ребро проектируется на прямую, содержащую биссектрису угла между смежными с этим ребром сторонами основания (и обратно).		∠SKO = ∠SMO или ∠SAB = ∠SAC и SO ⊥ ABC, SO — высота; AO — биссектриса ∠BAC. AO — прямая, содержащая биссектрису ∠BAC.

УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА

Образование усеченной пирамиды
Если задана пирамида SABC и проведена плоскость A1B1C1, параллельная основанию пирамиды (пл. A1B1C1 || пл. ABC), то эта плоскость отсекает от заданной пирамиды пирамиду SA1B1C1, подобную данной. (С коэффициентом подобия k = .) Другая часть заданной пирамиды — многогранник. ABCA1B1C1 называется усеченной пирамидой.	ΔABC и ΔA1B1C1 — основания; ABC || A1B1C1; AA1C1C, CC1B1B, BB1A1A — боковые грани (трапеции).
Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между плоскостями ее оснований.	A1O ⊥ ABC, A1O = H Vусеч.пир. = H (S1 + S2 + √S1S2) (S1 и S2 — площади оснований).

Дивіться також: