§ 5. Декартовы координаты на плоскости

Оси координат: ось x — ось абсцисс, ось y — ось ординат. Точка O — начало координат. Любой точке плоскости соответствуют два числа: абсцисса x0 и ордината y0. Эти числа называются декартовыми координатами данной точки.

Координаты середины отрезка
Координаты середины отрезка равняются полусумме соответствующих координат его концов A(x1;y1); B(x2;y2); C(x;y) — середина AB. x = , y = .
Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении
Если точки A и B имеют координаты A(x1;y1) и B(x2;y2), то координаты точки C, которая делит отрезок AB в отношении = λ (λ > 0), вычисляются по формулам: xc = ; yc = .
Расстояние между точками
Расстояние между двумя точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат A(x1;y1); B(x2;y2), d = AB =
Уравнение окружности
Уравнение (x − a)² + (y − b)² = R² является уравнением окружности с центром в точке A0(a;b) и радиусом R. Если центром служит начало координат, то уравнение окружности имеет вид: x² + y² = R².
Уравнение прямой
Любая прямая в декартовых координатах x, y имеет уравнение вида ax + by + c = 0, где a, b, c — некоторые числа.

Размещение прямой относительно системы координат
Коэффициенты			Уравнение прямой	Размещение прямой в системе координат
1.	a = 0 b ≠ 0	а) c ≠ 0	y = − (y = m)	прямая h параллельна оси Ox
		б) c = 0 by = 0	y = 0	h и x совпадают
2.	b = 0 a ≠ 0	а) c ≠ 0	y = − (x = n)	прямая h параллельна оси Oy
		б) c = 0	ax = 0 (x = 0)	h и x совпадают
3.	c = 0 a ≠ 0 b ≠ 0		ax + by = 0 (y = kx)	O ∈ h, т.к. k × 0 = 0 y = kx — прямая пропорциональность

Угловой коэффициент в уравнении прямой
Если точки A и B имеют координаты A(x1;y1), B(x2;y2), то угловой коэффициент прямой AB (y = kx + l) вычисляется по формуле k = и равен тангенсу острого угла, который образует прямая AB с осью x (k = tgα или k = −tgα).
k = tgα	k = −tgα
Условие параллельности прямых	Условие перпендикулярности прямых
Прямые l1 (y = k1x + b) и l2 (y = k2x + b2) параллельны тогда и только тогда, когда k1 = k2 и b1 ≠ b2.	Прямые m1 (y = k1x + b1) и m2 (y = k2 + b2) перпендикулярны тогда и только тогда, когда k1 × k2 = −1.
l1 || l2	m1 ⊥ m2

Пересечение прямой с окружностью
Соотношение между d и R: d — расстояние от прямой к центру окружности, R — радиус окружности		Решения системы:	Взаимное размещение прямой и окружности
1.	R > d	(d; ), (d; −)		Прямая пересекает окружность в двух точках: A (d; ) и B (d; −).
2.	R = d	(d; 0)		Прямая касается окружности в точке M (d; 0).
3.	R < d	Система не имеет решения.		Прямая и окружность не пересекаются.

Дивіться також: