§ 7. Векторы

Вектором называется направленный отрезок.
Векторы AB и CD называются одинаково направленными, если одинаково направлены и полупрямые AB и CD.
Векторы AB и CD называются противоположно направленными, если противоположно направлены и полупрямые AB и CD.
Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, задающего вектор. Абсолютная величина нуль-вектора равна нулю.	|a| = AB, |0| = 0
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом.
Равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И наоборот, если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.	CD = AB
Пусть вектор a имеет началом точку A1(x1;y1), а концом — точку A2(x2;y2). Координатами вектора a называются числа a1 = x2 − x1, a2 = y2 − y1. Координаты вектора ставятся рядом с буквенным обозначением вектора, в данном случае a (a1;a2).
Абсолютная величина вектора с координатами a1,a2 равна арифметическому квадратному корню из суммы квадратов его координат.	|a| =
Действия с векторами
Суммой векторов a и b с координатами a1,a2 и b1,b2 называется вектор c с координатами a1 + b1,a2 + b2, то есть a (a1;a2) + b (b1;b2) = c (a1 + b1; a2 + b2).	c = a + b
Законы сложения векторов
a + 0 = a a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c
Правила сложения векторов
Правило треугольника	AB + BC = AC
Какими бы ни были точки A, B, C, подтверждается векторное равенство: AB + BC = AC.
Правило параллелограмма	AB + AD = AC
Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, который построен на этих векторах, к тому же начало вектора-суммы совпадает с началом этих векторов.
Правило для построения разности двух векторов	AB − AC = CB
Чтобы построить вектор, который равен разности векторов a и b, нужно от одной точки отложить векторы a' и b', которые равны им. Тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора b', а конец — с концом вектора a', будет разностью векторов a и b.
Произведением вектора (a1;a2) на число λ называется вектор (λa1;λa2), то есть (a1;a2)λ = (λa1;λa2).
Законы умножения вектора на число
Для любого вектора a и чисел λ, μ (λ + μ) a = λa + μa. Для любых двух векторов a и b и числа λ λ (a + b) = λa + λb.
Свойства умножения вектора на число	1) |λa| = |λ| × |a|; 2) λa ↑↑ a, если λ > 0; 3) λa ↑↓ a, если λ < 0.
Абсолютная величина вектора λa равна |λ| × |a|. Направление вектора λa при a ≠ 0 совпадает с направлением вектора a, если λ > 0, и противоположное направлению вектора a, если λ < 0.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Признаки коллинеарности двух векторов	b = λa; a || b
Если ненулевые векторы a и b связаны соотношением b = λa (λ ≠ 0), то векторы a и b коллинеарны и наоборот, если ненулевые векторы a и b коллинеарны, то существует такое число λ ≠ 0, что b = λa.
Если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны, и наоборот, если соответствующие координаты двух векторов пропорциональны, то эти два вектора коллинеарны.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	c = λa + μb
Любой вектор c можно разложить по двум неколлинеарным векторами a и b в виде c = λa + μb, к тому же это разложение единственное.
Скалярным произведением векторов a(a1;a2) и b(b1;b2) называется число a1b1 + a2b2.
Свойства скалярного произведения векторов	a × b = |a| |b| cosφ cosφ = a × b = 0, значит, a ⊥ b
1. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его абсолютнои величины, то есть a × a = a² = |a|² 2. Для любых векторов a(a1,a2); b(b1,b2); c(c1,c2), (a + b) c = a c + b c 3. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. 4. Если скалярное произведение векторов a и b равно нулю, то векторы a и b перпендикулярны.

Дивіться також: