МЕНЮ
Учень! Що для тебе (як для школяра) означає школа?





  • ▲  угору сторінки
  • ◄  на попередню сторінку
головна сторінка > Теорія > Геометрия > 9 класс > § 3

§ 3. Многоугольники

Ломаная
Ломаной A1, A2, ... An называется фигура, состоящая из точек A1, A2, ... An и соединяющих их отрезков A1A2, A2A3, ... An−1An. Точки A1, A2, ... An называются вершинами ломаной, а отрезки A1A2, A2A3, ... An−1Anзвеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений.

Простая ломаная

Ломаная с самопересечением

Ломаная называется замкнутой, если у неё концы совпадают. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.
Свойство длины ломаной
Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

A1A2 + A2A3 + ... + An−1An ≥ A1An

Выпуклые многоугольники
Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника.

Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Многоугольник с n-вершинами, то есть с n-сторонами, называется n-угольником.

Плоским многоугольником, или многоугольной областью, называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости.

Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Невыпуклый многоугольник

∠ABC — угол выпуклого многоугольника;
ABCDE — выпуклый многоугольник.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника, при этой вершине.

∠BDM — внешний угол.

Сумма углов выпуклого n-угольника
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° (n − 2).

∠A1 + ∠A2 + ∠A3 + ... + ∠An = 180° (n − 2)

Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

∠1 + ∠2 + ... + ∠n = 360°

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности, которая, в свою очередь, называется описанной около многоугольника.
Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности, которая, в свою очередь, называется вписанной в многоугольник.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.
Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности. Эти окружности имеют один и тот же центр, который называется центром многоугольника.
Вершины правильного 2n-угольника, если их брать через одну, являются вершинами правильного n-угольника.
У четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.

AB + DC = AD + BC

Если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны между собой, то в него можно вписать окружность.
Если трапеция или ромб описаны около окружности, то их высоты равны диаметру окружности.

MN = h

Формулы радиусов вписанной и описанной окружностей около правильных многоугольников
Радиус \ Количество (n)n = 3n = 4n = 6
R = a6
Зависимость стороны an правильного n-угольника от радиуса R описанной около него окружности и радиуса r вписанной в него окружности
Количество сторонЗависимость
an от R и nan от r и n
n

an = 2R sin

an = 2r tg

3a3 = R√3a3 = 2r√3
6a4 = R√2a4 = 2r
4a6 = R

a6 = r√3

Хорда, которая перпендикулярна радиусу и проходит через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника.

AB — сторона правильного треугольника, вписанного в окружность.

Правильные выпуклые n-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковые, то они равны.
У правильных n-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.

Длина окружности
Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, то есть является постоянной величиной, которая называется ( ≈ 3,14).

Длина окружности равна: l = 2R или l = D, D = 2R.
Длина дуги окружности вычисляется по формуле:

l = × n,

где n — градусная мера угла, или

l = αR,

где α — радианная мера угла.

Радианная мера угла

Радианная мера угла получается из градусной умножением на , то есть α = × n, где α — радианная мера угла, а n — градусная мера угла.

Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в один радиан — это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. Градусная мера угла в один радиан равна: ≈ 57°.

Радианная мера некоторых углов
30°45°60°90°180°
0
Хорды и дуги окружностей
Если градусные меры двух дуг одной окружности равны, то дуги тоже равны. И наоборот: если дуги равны, то и градусные меры их равны.

∪AB = ∪CD

Равные дуги стягиваются равными хордами, и наоборот: равные хорды стягивают равные дуги.

AB = CD, ∪AB = ∪CD

Бо́льшая дуга, которая не превышает 180°, стягивается бо́льшей хордой, и наоборот: бо́льшая хорда стягивает бо́льшую дугу.

CD > AB, ∪CD > ∪AB

Дуги, расположенные между параллельными хордами, равны между собой.

AB || CD, ∪AC = ∪BD

Если непересекающиеся хорды соединяют концы равных дуг одной окружности, то эти хорды параллельны.

AB || CD, ∪AC = ∪BD

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

AB = CD

Дивіться також:

  • Подобие фигур
  • Тела вращения
  • Основные фигуры стереометрии
  • Многогранники. Призма
  • Площади фигур
  • Решение треугольников
  • Якщо Ви помітили помилку, виділіть необхідний текст та натисніть Ctrl+Enter

    © 2008-2024. Офіційний сайт Бердянської ЗОШ І-ІІІ ступенів № 2 Запорізької області

     
    [
    ]