§ 3. Многоугольники

Ломаная
Ломаной A1, A2, ... An называется фигура, состоящая из точек A1, A2, ... An и соединяющих их отрезков A1A2, A2A3, ... An−1An. Точки A1, A2, ... An называются вершинами ломаной, а отрезки A1A2, A2A3, ... An−1An — звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений.
Простая ломаная	Ломаная с самопересечением
Ломаная называется замкнутой, если у неё концы совпадают. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.
Свойство длины ломаной
Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.	A1A2 + A2A3 + ... + An−1An ≥ A1An
Выпуклые многоугольники
Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с n-вершинами, то есть с n-сторонами, называется n-угольником.
Плоским многоугольником, или многоугольной областью, называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.	Невыпуклый многоугольник ∠ABC — угол выпуклого многоугольника; ABCDE — выпуклый многоугольник.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника, при этой вершине.	∠BDM — внешний угол.
Сумма углов выпуклого n-угольника
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° (n − 2).	∠A1 + ∠A2 + ∠A3 + ... + ∠An = 180° (n − 2)
Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.	∠1 + ∠2 + ... + ∠n = 360°
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности, которая, в свою очередь, называется описанной около многоугольника.
Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности, которая, в свою очередь, называется вписанной в многоугольник.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.
Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности. Эти окружности имеют один и тот же центр, который называется центром многоугольника.
Вершины правильного 2n-угольника, если их брать через одну, являются вершинами правильного n-угольника.
У четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.	AB + DC = AD + BC
Если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны между собой, то в него можно вписать окружность.
Если трапеция или ромб описаны около окружности, то их высоты равны диаметру окружности.	MN = h

Формулы радиусов вписанной и описанной окружностей около правильных многоугольников
Радиус \ Количество (n)	n = 3	n = 4	n = 6
			R = a6

Зависимость стороны an правильного n-угольника от радиуса R описанной около него окружности и радиуса r вписанной в него окружности
Количество сторон	Зависимость
	an от R и n	an от r и n
n	an = 2R sin	an = 2r tg
3	a3 = R√3	a3 = 2r√3
6	a4 = R√2	a4 = 2r
4	a6 = R	a6 = r√3
Хорда, которая перпендикулярна радиусу и проходит через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника.		AB — сторона правильного треугольника, вписанного в окружность.
Правильные выпуклые n-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковые, то они равны.
У правильных n-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.

Длина окружности
Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, то есть является постоянной величиной, которая называется ( ≈ 3,14).
Длина окружности равна: l = 2R или l = D, D = 2R.
Длина дуги окружности вычисляется по формуле: l = × n, где n — градусная мера угла, или l = αR, где α — радианная мера угла.

Радианная мера угла
Радианная мера угла получается из градусной умножением на , то есть α = × n, где α — радианная мера угла, а n — градусная мера угла. Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в один радиан — это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. Градусная мера угла в один радиан равна: ≈ 57°.
Радианная мера некоторых углов
0°	30°	45°	60°	90°	180°
0

Хорды и дуги окружностей
Если градусные меры двух дуг одной окружности равны, то дуги тоже равны. И наоборот: если дуги равны, то и градусные меры их равны.	∪AB = ∪CD
Равные дуги стягиваются равными хордами, и наоборот: равные хорды стягивают равные дуги.	AB = CD, ∪AB = ∪CD
Бо́льшая дуга, которая не превышает 180°, стягивается бо́льшей хордой, и наоборот: бо́льшая хорда стягивает бо́льшую дугу.	CD > AB, ∪CD > ∪AB
Дуги, расположенные между параллельными хордами, равны между собой.	AB || CD, ∪AC = ∪BD
Если непересекающиеся хорды соединяют концы равных дуг одной окружности, то эти хорды параллельны.	AB || CD, ∪AC = ∪BD
Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.	AB = CD

Дивіться також: